Quod Erat Demonstrandum

2010/11/12

99 現象

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 4:10 下午
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如果 p 是質數,而 \frac{1}{p} 是循環小數,比如

\frac{1}{3} = 0.\overline{3}

\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}

我們可以觀察一下所謂「循環節的長度」(period),即循環節內有多少個數字。

比如,

0.\overline{3} 的 period = 1;

0.\overline{142857} 的 period = 6。

當 period 是偶數時,有一個有趣現象。

既然循環節的長度是偶數,我們便可把當中的數字「等分」,如上例,把

142857「等分」為:142 和 857

再加起,得

142 + 857 = 999

看,個個位都是 9。

同樣地,我們拿 period 為偶數的情況做做實驗:

\frac{1}{11} = 0.\overline{09} 對應地有

0 + 9 = 9

\frac{1}{13} = 0.\overline{076923} 對應地有

076 + 923 = 999

\frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647} 對應地有

05882352 + 94117647 = 99999999

\frac{1}{23} = 0.\overline{0434789260895652173913} 對應地有

04347826086 + 95652173913 = 99999999999

\dots

答案的位,全然是 9。同學,有沒有一種 囧 的感覺?

嗯,原來這個「99」現象並非偶然,而是必然的。

讓我先以實例入手。

\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}

\frac{1}{7} \times 10^6 = 142857.\overline{142857}

兩式相減,得

\frac{1}{7} \times (10^6 - 1) = 142857

〔留意到 10^6 當中的 6 是 period 嗎?是偶數嗎?〕

10^6 - 1 = 142857 \times 7

(10^3 - 1)(10^3 + 1) = 142857 \times 7

〔留意到 period 是偶數的重要性嗎?〕

999 \times 1001 = 142857 \times 7

可見,999 整除 142857

加上,142857 = 142000 + 857 = 142(999 + 1) + 857 = 142 \times 999 + (142 + 857)

即是說,999 整除 142 + 857

[當然,這個特例 142 + 857,一計便知是 999,但一般地]

兩個 3 位數之和,一定不能超過 999 的兩倍,故此

142 + 857 只能是 999 的一倍,即必然有 142 + 857 = 999

再多一例(原諒授課員的長氣):

\frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647}

\frac{1}{17} \times 10^{16} = N + 0.\overline{0588235294117647} (其中 N = 588235294117647

\frac{1}{17}(10^{16} - 1) = N

(10^8 - 1)(10^8 + 1) = 17N

[易知質數 17 整除 10^{16} - 1 但一定不能整除 10^m - 1 (其中 m 是小於 16 的正整數),否則 period 比 16 小。]

因此,

(10^8 - 1) 整除 N(注 10^8 - 1 = 99999999

N = 05882352(10^8) + 94117647 = 05882352(10^8 - 1) + (05882352 + 94117647)

即 (10^8 - 1) 整除 (05882352 + 94117647)

即 99999999 整除 (05882352 + 94117647)

亦即 99999999 = 05882352 + 94117647

希望同學看得明(雖然我講到「1999」)。

把上面討論整合及一般化,我們得出

Midy 定理(及 Midy 定理強化版),有興趣可參考:

http://en.wikipedia.org/wiki/Midy’s_theorem

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