Quod Erat Demonstrandum

2010/11/25

弧度

Filed under: NSS — johnmayhk @ 12:40 下午
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教科書記弧長公式

s = r\theta\theta is measured in radian)

之後推論一個結果

180^o = \pi radian

當中涉及一條式

\pi r = r \theta

描述下圖的情況

\theta = \pi radian

從而得以下結果:

180^o = \pi radian

昨晚,剛接觸弧度的中四梁同學問

為何是「\theta = \pi radian」而不是「\theta radian = \pi」?

我問他為何認為是「\theta radian = \pi」?他說

公式

s = r\theta\theta is measured in radian)

當中的 radian 應和 \theta「貼在一起」,即

s = r(\theta radian)

當代入 s = \pi r,得

\pi r = r(\theta radian)

約走 r,得

\pi = \theta radian

(這是很好的問題,相信又可以做一道數學口試題目。你會如何破之?)

重申慣用說法,幫不到梁同學。所謂「慣用說法」的說法,比如指:

以圓弧長度(arc length)s 與半徑 r 之比例定義角之大小,即

弧長是 1r,角的大小(量度)為 1 radian;
弧長是 2r,角的大小(量度)為 2 radian;
弧長是 3r,角的大小(量度)為 3 radian;

弧長是 \theta r,角的大小(量度)為 \theta radian;
弧長是 \pi r,角的大小(量度)為 \pi radian。

不用一分鐘答完,清楚嗎?但梁同學不滿意,因為他懂這個,就是不明白

由"\pi r = r(\theta radian)"推論"\pi = \theta radian"之問題所在。

另一個慣用說法:

正如,我們可以用不同的單位量度同一長度,例如 1 米 = 3 呎 3;$1 = ¥0.875 等;

平角的大小,可以用 180^o,也可以用 \pi radian 去「描述」。

「所以」應寫 180^o = \pi radian

不用一分鐘答完,清楚嗎?但梁同學不滿意,因為他懂這個,就是不明白

由"\pi r = r(\theta radian)"推論"\pi = \theta radian"之問題所在。

我開始轉念,思考甚麼是單位(unit),請教同事,同事說,解梁同學的問題不用去到那個層次(?)

中學時,老師告訴我:Radian 不是單位。

孤長公式 \theta = \frac{s}{r} 中,

等號右邊的 sr 的單位相同,約之,即 \theta 是無單位的。

類似地,Degree 也不是單位。(那麼在公開試中沒有寫 degree 符號,要扣「unit」分嗎?)

但如果 Radian 和 Degree 不是單位,但我們又不能認為 180^o 和 180 是同一樣「東西」,

更不能說「180 = \pi

查,原來 radian 和 degree 等是所謂 dimensionless unit:

http://en.wikipedia.org/wiki/Dimensionless_quantity

(以下是 Dimensionless quantity 的維基中譯:無因次量、無量綱量、無維量、無維度量、無維數量、無次元量…很「有型」吧。)

開始離題,和同事談 take log 後單位如何,同事提到 decay 函數

N = N_0e^{-kt}

當中 t 是時間,有物理的單位,k 也應有其單位,比如 mg/s。但因 NN_0 單位相同, e^{-kt} 應該是沒有單位的。

奇異感覺掠過,不過因要離開學校接兒子放學,沒有進一步討論甚麼了。

好了,回歸梁同學的問題:

首先,設平角的大小是 \theta radian(\theta 和 radian 「貼在一起」)

而公式

\pi r = r \theta

等號左右的單位要吻合,故我們應寫

(\pi radian)(r cm) = (r cm)(\theta radian)

(把 \pi 賦予一個「單位」radian)

\pi = \theta

所以,平角的大小是 \pi radian。

接納嗎?應該有漏洞的,要高手幫忙了。

9 則迴響 »

  1. 我也有想過類似問題
    設 x = sin wt, w 是常數
    則 dx/dt = w cos wt
    sin x, cos x 等是一個 ratio,理應是沒有單位的
    所以 x 應該是沒有單位的
    假如 w 的單位是 rad s^-1,那麼 dx/dt 的單位是什麼?

    迴響 由 W — 2010/11/25 @ 8:40 下午 | 回覆

  2. 弧度是唯一可以省略不寫的角度單位,
    其它的不能省略。

    迴響 由 Yee — 2010/11/25 @ 9:50 下午 | 回覆

  3. W > Hello!

    you miss something in your equation “x = sin wt"
    If the displacement is a sinusoidal function, we will write

    x = A sin(wt)

    A is the amplitude, 單位是 [m]. It is straight to see that the unit of x is also [m].

    so that, dx/dt 的單位是 m/s
    velocity 是也!

    迴響 由 Lok — 2010/11/26 @ 12:47 上午 | 回覆

  4. 個人經驗,
    我教 Radian 會用 unit circle (r = 1) 做定義,
    同學們好似會易明D

    迴響 由 Lok — 2010/11/26 @ 12:49 上午 | 回覆

  5. John Sir, k 的單位一定是 s^-1.
    1/k 會稱之為 characteristic time

    迴響 由 Lok — 2010/11/26 @ 12:52 上午 | 回覆

  6. @Lok

    謝謝指正。那時談的時候沒有注意,k 的單位應是 s^{-1}

    用單位圓教 radian measure 也是好的,但用半徑是 r 的圓,推 s = r\theta 比較直接,不過,分別也不大。

    迴響 由 johnmayhk — 2010/11/26 @ 11:34 上午 | 回覆

  7. degree當然是單位,沒有寫degree的單位當然要扣分。

    迴響 由 Yee — 2010/11/30 @ 10:45 下午 | 回覆

  8. 在工程/物理學, take log 通常都係ratio, 所以會係無unit/dimensionless, 又或者用decibel 做unit

    迴響 由 dexter — 2011/05/18 @ 1:15 下午 | 回覆

  9. 角度是無因次的物理量,
    而非無單位。
    degree與radian當然者是單位。
    單位是radian可以省略不寫。
    至於學生的疑惑,可以舉例說明。
    質點A=1公斤
    不能寫為質點A公斤=1。

    迴響 由 Yee — 2011/05/18 @ 6:41 下午 | 回覆


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