Quod Erat Demonstrandum

2010/11/26

純量與向量

Filed under: NSS,Physics — johnmayhk @ 12:38 下午

某 M2 教科書在向量一課的引子:

"All physical quantities can be classified into two types: scalars and vectors. For example, distance, temperature and area are examples of scalars as they can be represented by a real number only, while displacement, velocity and force are examples of vectors as they possess direction as well."

相信授課員不多理會,但今天無聊看看,又無聊地想一些無聊東西。

問:是否真的所有物理量都可分為純量與向量?

以下結連,表列很多物理量:

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_physical_quantities

文字描述內記:The final column lists some special properties some of the quantities have such as their scaling behavior (i.e. whether the quantity is intensive or extensive), their transformation properties (i.e. whether the quantity is a scalar, vector or tensor) or whether the quantity is conserved.

可見,除了 scalar 和 vector,還有 tensor(張量)。

隨便在網上搜查,諸如

"Physical quantities+ neither scalar nor vector"

有諸如以下結果:

"Physical quantities which are neither consider as scalar nor vector are called tensor like moment of inertia, stress."

原諒我已和物理學脫節已久,查一查上述列表,有

Monent of inertia 的 comment: scalar

再看

Stress 的 comment: 2-tensor (or scalar)

再看

Pressure: Amount of force per unit area.(壓力不是向量。)
Stress: Amount of force exerted per surface area.(這是甚麼?)

另,接近光速的速度,向量加法可行嗎?

似乎有很多好玩的東西。

無聊完畢。

8 則迴響 »

  1. A)
    有一隻蟻, 我用一隻手指
    死佢就是 Pressure
    捽死佢就是 Stress.

    B)
    Moment of inertia ‘I’ 是 Tensor (3X3 Matrix) 來的,
    例如角動量全式是: L = I ѡ [L, ѡ 都是vector! I 是 Tensor]
    則有:
    L_{i} = I_{i1}ѡ_{1} + I_{i2}ѡ_{2} + I_{i3}ѡ_{3} — (1)

    不過如果對應的向量 (‘ѡ’, angular velocity) 只得一個 compound 的話,
    [ѡ_{2} = ѡ_{3} = 0], 加上在簡單情況中 I_{ij}=0 for i=/=j.
    把 Moment of inertia 當是 scalar 也無妨:

    equation (1)就只剩下

    L_{1} = I_{11}ѡ_{1}

    I_{11}是 scalar, 亦是之前AL 學的 Rotational dynamics.

    C)
    接近光速的速度,向量加法可行,
    不過要用速度的兄弟: velocity 4-vector 來運算.

    物理係好好玩的!

    BTW, 如何在網誌中打LaTEx?

    迴響 由 Lok — 2010/11/27 @ 10:25 下午 | 回覆

    • Lok:

      非常感謝賜教,那些問題,其實我應先自行研究,但博士以深入淺出的方法解釋一下,確能幫助我輩更好學習。

      我其實想問,stress 是 2-tensor 是何義,為何又可以 scalar 視之?是否又是考慮某方向之 component,便可視為 scalar?

      我問同事,是否所有物理量可二分為純量與向量?他說:中學階段夠用。

      我問光速時可否用向量加法,他說:這是另一個問題(?)。

      相信他應要我自行找答案。

      在 wordpress 用 LaTeX,謝參考:

      http://en.support.wordpress.com/latex/

      迴響 由 johnmayhk — 2010/11/29 @ 10:22 上午 | 回覆

  2. 你的同事是否我的大學同學?

    迴響 由 Lok — 2010/11/29 @ 11:05 上午 | 回覆

  3. stress 是 2-tensor
    因為我有 9 (3X3) 個對物體施力的可能.

    對 x 面施 x 方向的力 (pressure)
    對 x 面施 y 方向的力 (stress)
    對 x 面施 z 方向的力 (stress)

    對 y 面施 x 方向的力 (stress)
    對 y 面施 y 方向的力 (pressure)
    對 y 面施 z 方向的力 (stress)

    對 z 面施 x 方向的力 (stress)
    對 z 面施 y 方向的力 (stress)
    對 z 面施 z 方向的力 (pressure)

    把他們合起來寫成一個 Matrix 就是 2-Tensor

    迴響 由 Lok — 2010/11/29 @ 11:13 上午 | 回覆

    • 感謝 Lok。

      同事是梁(YY)老師。

      迴響 由 johnmayhk — 2010/11/29 @ 11:20 上午 | 回覆

  4. velocity = dx/dt
    但在相對論的情況時

    dt 是會跟著 observer 而不同的。
    為了令 vector 保持 invariant, 我們會用 dT (T 是 proper time, 對所有 observer 都是一樣的)。

    所以相對論的 4-vector 與平時見的 3-vector 不太一樣。

    另外一樣重要的是 inner/dot product, 例如
    M = {A,B,C,D}
    M.M = |M|^2 = – A^2 + (B^2 + C^2 + D^2)

    設 N 為 4 – position vector
    N={ct, x, y, z}
    |N|^2=-ct^2 + (x^2 + y^2 + z^2)

    |N|是有名的 spacetime interval
    對所有 observer 都是一樣的

    相對論中:
    時間(ct^2)是相對的
    空間 (x^2 + y^2 + z^2) 是相對的
    時空 |N| 是絕對的。

    絕對是指對所有 observer 測量到的都是一樣,
    相對是指對不同 observer 測量到的可以不一樣。

    P.S.
    所有 4 – vector 的inner product 都是絕對的,
    4 – position vector 的inner product 是 spacetime interval
    4 – velocity vector 的inner product 是 c 光速

    所以光速是絕對的,所有人都會見到光速 = c

    迴響 由 Lok — 2010/11/29 @ 5:09 下午 | 回覆

  5. 壓力是張量,通常可以視為純量,絕對不可能是向量。

    迴響 由 Yee — 2010/11/30 @ 10:38 下午 | 回覆

  6. 電學的基本物理量定為電流而非電荷,我完全無法接受,電荷應該比電流更基本才對。

    迴響 由 Yee — 2010/11/30 @ 10:42 下午 | 回覆


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