Quod Erat Demonstrandum

2010/12/28

又來比較係數

Filed under: NSS,Report,Teaching — johnmayhk @ 11:43 下午
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某 M2 短題:

f(\theta) = -\sin^2\theta + \sin\theta + \frac{7}{4} (其中 \theta 是實數),求 f(\theta) 的最大值。

為「幫」同學,題目加插一部分:

f(\theta) = a(\sin\theta + b)^2 + c,求 a,b,c 的值。

梁同學懂得用配方法(method of completing the square)寫出

f(\theta)
= -\sin^2\theta + \sin\theta + \frac{7}{4}
= -(\sin^2\theta - \sin\theta) + \frac{7}{4}
= -(\sin^2\theta - \sin\theta + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2) + \frac{7}{4}
= -(\sin\theta - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + \frac{7}{4}
= -(\sin\theta - \frac{1}{2})^2 + 2

可是,他不知道為何:"a = -1, b = -\frac{1}{2}, c = 2"

即是,

當 “a(\sin\theta + b)^2 + c \equiv -(\sin\theta - \frac{1}{2})^2 + 2" 時,為何一定要是 “a = -1, b = -\frac{1}{2}, c = 2“?………. (*)

::::::::::

停一停,想一想;你會如何回答?「比較係數」?

::::::::::

梁同學首先質疑,如果

f(\theta) = ab
f(\theta) = c + d

一定可以推論:abc + d 恆等嗎?

答:看當時發問內容是甚麼。

比如隨便考慮兩條線的方程

y = 2x + 1
y = 3x + 4

上式顯示了兩個「相同」的符號: y,但並不代表 2x + 13x + 4 恆等。

兩個 y 的意義不同:

y = 2x + 1y 是代表在直線 y = 2x + 1 上的點之 y-坐標;而

y = 3x + 4y 是代表在直線 y = 3x + 4 上的點之 y-坐標。

兩者沒有必然相等的關係。

或許本題應寫為:

「把 f(\theta) = -\sin^2\theta + \sin\theta + \frac{7}{4} 表達成 f(\theta) = a(\sin\theta + b)^2 + c,其中 a,b,c 為常數。」

較好。

至於衍生問題 (*) 的原因,起碼有

1. 低年級學習的「比較係數」(comparing coefficents),是在多項式的情況下才可行,但 -(\sin\theta - \frac{1}{2})^2 + 2 並非多項式,為何也可以比較係數?

2. 「比較係數」在「爆開」後(expanding)才進行,但 -(\sin\theta - \frac{1}{2})^2 + 2 並未「爆開」。

::::::::::

停一停,想一想;你會如何回答?Trivial?

::::::::::

1.

px^2 + qx + r \equiv 2x^2 + 3x + 4

過渡到

p(\sin\theta)^2 + q(\sin\theta) + r \equiv 2(\sin\theta)^2 + 3(\sin\theta) + 4

其實真的不能直接用一句「類似地」作為「p = 2, q = 3, r = 4」的理由。

上次討論過,不贅。

梁同學問「為何可以比較?」也不是第一次(例如這裡),問題是我不是學者,很難以深入淺出的方法向中四的梁同學解明。(莫非一句「線性獨立」完事?盼高手指引。)

2.

先看一個例:

(ax + b)^2 + c \equiv (2x + 3)^2 + 4

則可以有

a = 2, b = 3, c = 4

亦可以有

a = -2, b = -3, c = 4

又例如,「當

((ax + b)^2 + c)^2 \equiv ((2x + 3)^2 + 4)^2 時,

除了 a = 2, b = 3, c = 4 外,還有沒有其他可能?」

也是有點意思的問題吧?(充要條件是也)

那時,我匆匆趕著,沒有可能慢慢向梁同學解釋,只是著他跟隨步驟:

1.expand
2.group like terms
3.compare coefficients

來處理。

但似乎,那個「加插提問」和我的講解,「幫」不到梁同學,及後他的電話也到,可惜當時我身處內地,不便接聽。

P.S.

這幾天我也反思數學教肓的東西,源起是閱讀了以下的東西:

Conrad Wolfram: Teaching kids real math with computers

當中提到:

Stop teaching calculating.
Start teaching math.

從 Day 1 已想,為何要訓練學生做「人肉計算機」?比如 curve sketching 之類其實有點無聊。

但又想,若小一學生已用計算機來學習和考試,情況又如何?

另一篇題為

Teaching General Problem-Solving Skills Is Not a Substitute for, or a Viable Addition to, Teaching Mathematics


http://www.ams.org/notices/201010/rtx101001303p.pdf

文中的那個記憶棋盤實驗和給果也很有趣,worked-example effect 其實頗「常識」,且進一步加深不要過份迷信"General Problem-Solving Skills"的信念。

不況看看。

7 則迴響 »

  1. 如果在教comparing coefficients的時候,設LHS恆等RHS,將(LHS) – (RHS)恆等於0。學生對此會否較為容易接受?

    迴響 由 Justin — 2010/12/29 @ 3:29 下午 | 回覆

    • 由 “ax + b \equiv 2x + 3" 得 “a = 2, b = 3"

      還是

      由 “ax + b \equiv 2x + 3" 得 “(a - 2)x + (b - 3) \equiv 0" 從而得 “a = 2, b = 3"

      較易為學生接受?

      我也不太知道。

      總之,一些看似 trivial 的東西,在學生眼中未必亦然。

      又或,學生識「計」,但是否「真正」明白 “what is going on"?

      可能,現時的考核方式未可測量。

      迴響 由 johnmayhk — 2010/12/29 @ 5:48 下午 | 回覆

  2. 在比較polynomial時。我們有一個理論如下:
    假定f(x),g(x)為兩個n次多項式。
    當f(x)-g(x)=0 有多於n個根,f(x) 與 g(x) 恒等。繼而可証所有係數相等。
    恒等符號即:f(x)= g(x) for all real x.(即多於n個根)
    留意當多項式未有展開,未必可以正接比較。
    (ax)^2與(bx)^2,則|a|=|b|,不一定可推導出a=b 。

    迴響 由 Toi — 2011/01/03 @ 10:50 下午 | 回覆

  3. 補充:sin function 的值域是[-1,1](即有無限解)

    迴響 由 Toi — 2011/01/03 @ 10:55 下午 | 回覆

  4. Thank you Toi for your comments.

    Actually, there were some similar discussions on the last post about “comparing coefficients".

    For me, the difficulty is how to let F.4 students understand the matter deeply.

    But, I guess not many students are interested in the subject matter.

    I always think that under New Senior Secondary (NSS), students may explore more in the subject matter (more than just calculations and computations), however, in reality, the time is always not enough to do some extra and ‘high risk’ activities because the public examination is still the ‘leading coefficient’.

    迴響 由 johnmayhk — 2011/01/04 @ 8:18 上午 | 回覆

  5. I think linear indepence plays a vital role here.
    (sine theta, (sin thata)^2 and 1 are linearly independent)
    However, it would be far too difficult for F.4 students to understand.

    迴響 由 lovely girl — 2014/08/29 @ 1:37 上午 | 回覆


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