Quod Erat Demonstrandum

2011/01/01

A quadratic equation in cosx

Filed under: NSS — johnmayhk @ 4:04 下午
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這裡不過是一道有關二次方程(quadratic equation)的短題。

\sin^2x + \cos x + a = 0

有實根(real root),求 a 值之範圍(range of values)。

一見「實根」,同學大抵想到用判別式

\Delta \ge 0

吧?

原式可變為

\cos^2x - \cos x - (a + 1) = 0

y = \cos x,得

y^2 - y - (a + 1) = 0

那麼

\Delta \ge 0

1 + 4(a + 1) \ge 0 \Rightarrow a \ge -\frac{5}{4}

完成了嗎?

未完成,注意

y^2 - y - (a + 1) = 0 ………. (*)

y 的取值不是任意的,

y = \cos x,故 y 值有限制:-1 \le y \le 1

即當我們解 (*),得出

y = \frac{1 \pm \sqrt{4a + 5}}{2}

時,還要考慮

-1 \le \frac{1 \pm \sqrt{4a + 5}}{2} \le 1

這個限制,以得出 a 值的限制。

解得

-1 \le \frac{1 + \sqrt{4a + 5}}{2} \le 1 OR -1 \le \frac{1 - \sqrt{4a + 5}}{2} \le 1

\Rightarrow -3 \le \sqrt{4a + 5} \le 1 OR -1 \le \sqrt{4a + 5} \le 3

\Rightarrow 0 \le 4a + 5 \le 1 OR 0 \le 4a + 5 \le 9

\Rightarrow -\frac{5}{4} \le a \le 1

頗麻煩吧。

其實這題用配方法(method of completing the square),更簡潔:

原式

\cos^2x - \cos x - (a + 1) = 0

a = \cos^2x - \cos x - 1

a = (\cos x - \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}

-1 \le \cos x \le 1,易知上式的最小及最大值分別為 -\frac{5}{4}1,即

-\frac{5}{4} \le a \le 1

2 則迴響 »

  1. Hi,

    It is a nice problem! Happy 2011!

    Cheers,
    Wen Shih

    迴響 由 Wen Shih — 2011/01/01 @ 8:57 下午 | 回覆


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