Quod Erat Demonstrandum

2011/01/09

無聊談:擬題

Filed under: mathematics — johnmayhk @ 10:38 上午
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授課員其中一項工作是擬題。

解答(在課程範圍內的)題目,不會太難,但要擬出好題目,往往不易。

偶爾遇到巧解妙題,甚為欣喜,心中拜服,不禁問:「擬題者是如何創作?」

以下來自《數學家是怎樣思考的》的一例:

If

\frac{ac - b^2}{a - 2b + c} = \frac{bd - c^2}{b - 2c + d},

prove that

\frac{ac - b^2}{a - 2b + c} = \frac{ad - bc}{a - b - c + d}.

(驗算一下:比如 a=3,b=4,c=6,d=10 滿足題意。另外,上式的所有分母皆命為非零。)

雖然這類有關比例論的題目已是「考古」題,但同學不況一試。

(「展開」是一個方法,但似乎頗煩吧。)

看這些題,不難「感受」到一些模式,但為何會這樣?擬題者是如何創作出來?

\frac{ac - b^2}{a - 2b + c} = k

ac - b^2 = ka - 2kb + kc

似乎也很「無機」,但留意到存在 b^22kb,那麼可能配方法可派用場,見

ac - (a + c)k + k^2 = b^2 - 2kb + k^2

(a - k)(c - k) = (b - k)^2

看,這個模式是「有機」的,有意義的;它指出

a - k, b - k, c - k 是等比數列(G.S.)。

類似地,

\frac{bd - c^2}{b - 2c + d} = k

b - k, c - k, d - k 也是等比數列。

結果,

a - k, b - k, c - k, d - k 也是等比數列。

從而得

\frac{b - k}{a - k} = \frac{d - k}{c - k}

這就不是漫無目的地進行「爆散」「組合」,而是很自然地由等比數列的特性得出,進而

\frac{ad - bc}{a - b - c + d} = k

證畢。

不過利用「a - k, b - k, c - k, d - k 是等比數列」,便「輕易」地創作上述題目。

精采例子不勝枚舉,只是時間不容閱讀太多。

P.S. 有關「有機」地「爆散」,我想到之前談過有關歐拉四平方恆等式之證明,同學也可參考一下:

http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877&current_page=&i=894949&t=894949

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