Quod Erat Demonstrandum

2011/03/02

當 x 接近零,(1+1/x)^x 如何?

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:07 下午
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課堂上,我通常會談「非例子」。

比如教(講)了

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x} = e

隨即問

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}(2+\frac{1}{x})^{x} = ?

這個易,再問

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{1}{x})^{x} = ?

學生不以為然。

自行用 WolframAlpha

http://www.wolframalpha.com/

輸入

limit (1+1/x)^x at x=0

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{1}{x})^{x} = 1

但我認為

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0+}(1+\frac{1}{x})^{x} = 1 但 \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0-}(1+\frac{1}{x})^{x} 不存在,故此 \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{1}{x})^{x} 不存在。

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0-}(1+\frac{1}{x})^{x} 不存在,是因為

如果它存在,則任何趨於 0^{-} 的數列 {x_n},\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}(1+\frac{1}{x_n})^{x_n} 都應存在,

但,比如考慮 x_n=\frac{-1}{2n},則

\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}(1+\frac{1}{x_n})^{x_n}

= \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}(1-2n)^{\frac{-1}{2n}}

= \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt[2n]{1-2n}}

1-2n<0,故 \sqrt[2n]{1-2n} 無定義,故

\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt[2n]{1-2n}} 不存在。

當然,通常錯的是我,問科主任,答曰:complex number。

我再看 WolframAlpha 的圖:

大家留意到繪上了實部(real part)和虛部(imaginary part)的圖象嗎?

單看圖,

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{1}{x})^{x} = 1

似乎指 (1+\frac{1}{x})^{x} 的實部接近 1。

但對複函數 f(z)

\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_0}f(z) = w 應指

|f(z)-w|\rightarrow 0 whenever |z-z_0|\rightarrow 0

再舉簡單例子,比如

\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}(-1)^{\frac{1}{n}} 是甚麼?

似乎以下的步驟是錯:

\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}(-1)^{\frac{1}{n}}=(-1)^0=1

(-1)^{\frac{1}{n}} 的實部接近 1 的實部嗎?又或 |(-1)^{\frac{1}{n}}-1| 接近零嗎?

不知道

(-1)^{\frac{1}{n}}=\cos(\frac{(2k+1)\pi}{n})+i\sin(\frac{(2k+1)\pi}{n}) (k = 0,1,2,\dots n-1)

是多值的,各值的實部不盡相同,和 1 的距離亦然。

如果強行取 (-1)^{\frac{1}{n}}=\cos(\frac{\pi}{n})+i\sin(\frac{\pi}{n})

\cos(\frac{\pi}{n})+i\sin(\frac{\pi}{n}) 的實部(即 \cos(\frac{\pi}{n}))接近 1,又,|\cos(\frac{\pi}{n})+i\sin(\frac{\pi}{n}) - 1| 也接近零(當 n\rightarrow +\infty 時)。

那麼,又可以說

\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}(-1)^{\frac{1}{n}}=1

嗎?

再用 WolframAlpha,輸入

limit (-1)^(1/n) at n=infinity

答案是 1,理由是 “using the continuity of (-1)^{\frac{1}{n}} at n=\infty“。真的嗎?

不理了,輸入

limit (1+1/x)^x at x=0

按一按 show steps 看看如何得出

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{1}{x})^{x} = 1 吧。

看來,我已對複變的東西喝了忘情水了。

3 則迴響 »

  1. 請問什麽是0+和0-呢?

    迴響 由 andywong — 2011/03/19 @ 10:00 下午 | 回覆

    • 粗略地說:

      x 接近零正(0+),即 x 值接近零且 x 值大於零。

      x 接近零負(0-),即 x 值接近零且 x 值小於零。

      迴響 由 johnmayhk — 2011/03/20 @ 4:40 下午 | 回覆

  2. thank u very much!!!

    迴響 由 andywong — 2011/03/21 @ 10:01 下午 | 回覆


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