Quod Erat Demonstrandum

2011/03/17

某有關開方根的題目

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 3:44 下午
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由平凡的結果出發

(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)

如果 a,b,c,d 非負(non-negative),我們可以考慮

(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{c}+\sqrt{d})=(\sqrt{a}+\sqrt{c})+(\sqrt{b}+\sqrt{d})

再考慮

\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}+\sqrt{(\sqrt{c}+\sqrt{d})^2}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{c})^2}+\sqrt{(\sqrt{b}+\sqrt{d})^2}

進而有

\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}+\sqrt{c+d+2\sqrt{cd}}=\sqrt{a+c+2\sqrt{ac}}+\sqrt{b+d+2\sqrt{bd}}

\sqrt{a+b+\sqrt{4ab}}+\sqrt{c+d+\sqrt{4cd}}=\sqrt{a+c+\sqrt{4ac}}+\sqrt{b+d+\sqrt{4bd}}

代入 a=1,b=2,c=3,d=4

\sqrt{3+\sqrt{8}}+\sqrt{7+\sqrt{48}}=\sqrt{4+\sqrt{12}}+\sqrt{6+\sqrt{32}}

代入 a=1,b=3,c=5,d=7

\sqrt{4+\sqrt{12}}+\sqrt{12+\sqrt{140}}=\sqrt{6+\sqrt{20}}+\sqrt{10+\sqrt{84}}

代入 a=3,b=5,c=7,d=11

\sqrt{8+\sqrt{60}}+\sqrt{18+\sqrt{308}}=\sqrt{10+\sqrt{84}}+\sqrt{16+\sqrt{220}}

諸如此類,比較不能一眼看出的結果。

同學,若考慮

\sqrt[3]{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3}+\sqrt[3]{(\sqrt{c}+\sqrt{d})^3}=\sqrt[3]{(\sqrt{a}+\sqrt{c})^3}+\sqrt[3]{(\sqrt{b}+\sqrt{d})^3}

情況又怎樣?

3 則迴響 »

  1. 這還是junior form maths嗎?
    放於Pure PI Section A 也會掃走一堆…
    往年pure的實數字題目都有完整guidance, 所以"pure是AL中數一數二難的科目"之評語在近年不太有說服力了
    至少難不過app theoretical mechanics 的LQ

    迴響 由 eric — 2011/03/17 @ 6:45 下午 | 回覆

    • Eric,

      你也說對,比如解

      \sqrt{8+\sqrt{60}}+\sqrt{18+\sqrt{308}}=\sqrt{10+\sqrt{84}}+\sqrt{16+x}

      放在 Pure P1 也死得。

      我只說,其技巧屬 junior form math 而已。

      如果其他科目的程度也降低,水退船低,Pure Math 仍有可能是數一數二的難吧。

      迴響 由 johnmayhk — 2011/03/17 @ 7:08 下午 | 回覆

  2. Hi,

    Extremely nice, thanks for sharing!

    Cheers,
    Wen Shih

    迴響 由 Wen Shih — 2011/03/19 @ 7:19 下午 | 回覆


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