Quod Erat Demonstrandum

2011/03/30

M2 三點

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:17 下午
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1.

今早,同學問了 M2 某習題:

Evaluate \int_{0}^{y} \ln(1+\tan x \tan y)dx.

隨便答:

Let x=y-u,

dx=-du
x=0\Rightarrow u=y
x=y\Rightarrow u=0

Hence,

I
=\int_{0}^{y} \ln(1+\tan x \tan y)dx
=\int_{y}^{0} \ln(1+\tan (y-u) \tan y)(-du)
=\int_{0}^{y} \ln(1+\tan (y-u) \tan y)du
=\int_{0}^{y} \ln(1+\tan (y-x) \tan y)dx

Thus,

I
=\frac{1}{2}(\int_{0}^{y} \ln(1+\tan x \tan y)dx+\int_{0}^{y} \ln(1+\tan (y-x) \tan y)dx)
=\frac{1}{2}\int_{0}^{y} \ln(1+\tan x \tan y)(1+\tan (y-x) \tan y)dx
=\frac{1}{2}\int_{0}^{y} \ln(1+\tan x \tan y)(1+\frac{\tan y-\tan x}{1+\tan x\tan y} \tan y)dx
=\frac{1}{2}\int_{0}^{y} \ln(1+\tan x\tan y+(\tan y-\tan x)\tan y)dx
=\frac{1}{2}\int_{0}^{y} \ln(1+\tan^2y)dx
=\frac{1}{2}\int_{0}^{y} \ln(\sec^2y)dx
=\frac{1}{2}y\ln(\sec^2y)

or

y\ln|\sec y|

2.

昨天和科主任也談 M2 某習題:

Suppose g(x) is periodic with period T and g(x)=\int_{0}^{x}f(t)(f(t)-k)dt.

If \int_{0}^{T}f(x)dx\ne 0, show that k=\frac{\int_{0}^{T}f^2(x)dx}{\int_{0}^{T}f(x)dx}.

題目沒有甚麼大問題,只是作者給學生的某 intermediate step 有些問題。

科主任問:給定 g(x),那麼符合題意的 f(x) 存在嗎?

f(x)\equiv k,情況是平凡(trivial)的。

但會否存在非常函數 f(x) 之例?

我們考慮

g'(x)=f(x)(f(x)-k)

那麼若 g(x) 的周期為 T,則 g'(x) 亦然。

f(x+T)(f(x+T)-k)\equiv f(x)(f(x)-k)

f(x+T)\equiv f(x)f(x+T)+f(x)\equiv k

無論前者或後者,都表明

f(x) 也是周期函數。

具體地,給定 g(x)

g'(x)=f(x)(f(x)-k),得

f^2(x)-kf(x)-g'(x)=0

理應可把 f(x) 表為 g'(x),只要 k^2+4g'(x)\ge 0 即可。

例如

g(x)=\sin x

f^2(x)-kf(x)-g'(x)=0
f^2(x)-kf(x)-\cos x=0

故我們可取

f(x)=\frac{1}{2}(k+\sqrt{k^2+4\cos x})

即有

\sin x=\int_{0}^{x}\frac{1}{2}(k+\sqrt{k^2+4\cos t})(\frac{1}{2}(k+\sqrt{k^2+4\cos t})-k)dt

我再想想,順便衍生出以下關係:

\frac{\int_{0}^{2\pi}(k+\sqrt{k^2+4\cos x})^2dx}{2\int_{0}^{2\pi}(k+\sqrt{k^2+4\cos x})dx}=k (with k^2\ge 4)

3.

有關周期函數,讓我隨便擬一道題:

Let f(x) be a periodic function with period 1.

Suppose \int_{0}^{1}f(x)dx=2 and \int_{0}^{k}f(x)dx=6.

Find the value of k.

何錯之有?

\int_{0}^{k}f(x)dx=6=3\int_{0}^{1}f(x)dx

f(x) 的周期為 1,得

\int_{0}^{k}f(x)dx=\int_{0}^{3}f(x)dx

k 一定是 3 的嗎?

否!k 還可以有別的選擇。

好了,這是正題:

(a) 試解釋為何 k=3 不是唯一解。

(b) 請問在題目加入甚麼條件(即 f(x) 還要有甚麼特性),使 k=3 變成唯一解?

這些例,對修 Pure Mathematics 的同學自然沒有問題,但對中五的同學來說,或有丁點難。

3 則迴響 »

  1. (a)當f(x)是odd function 時,k的值可以是-3 or 3,所以3不是唯一解。
    (b)只要設k是非負,則可。

    迴響 由 Jaychan — 2011/03/30 @ 5:54 下午 | 回覆

    • Jaychan,

      謝謝嘗試!(a) 正確!

      至於 (b),讓我舉個例,考慮以下函數:

      When 0\le x<0.5, f(x)=6; when 0.5\le x<1, f(x)=-2

      其圖像見下:

      \int_{0}^{1}f(x)dx=2

      想像把上圖不斷 "copy and paste",變成定義域為整個實數集的周期函數,易見其周期為 1。

      那麼,除了

      \int_{0}^{1}f(x)dx=2

      \int_{0}^{1/3}f(x)dx 也是 2。

      故此,要求

      \int_{0}^{k}f(x)dx=6

      除了

      k=3 之外,還可以有

      k=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}

      迴響 由 johnmayhk — 2011/03/31 @ 3:11 下午 | 回覆

  2. >>(b)只要設k是非負,則可
    I think this condition is insufficient. We also require the function to be positive in the neighbourhood of x=n, except it may be zero at the point x=n. (where n is an integer)

    A counter-example is:
    f(x)=20 for n+0.1<x<n+0.2, where n is an integer
    f(x)=0 otherwise

    迴響 由 lovely girl — 2014/08/29 @ 12:54 上午 | 回覆


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