Quod Erat Demonstrandum

2011/04/05

arctan

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 9:56 下午
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多星期前,剛開始談求導技巧,見書中某例:

\frac{d}{dx}\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})

當得出

\frac{d}{dx}\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})=\frac{1}{1+x^2}

後,堂上我問:同學感到有趣嗎?因為

\frac{d}{dx}\tan^{-1}x 也是 \frac{1}{1+x^2}

當然,堂上沒空做「無聊」的東西,唯現在從上述「發現」出發,胡說幾句。

首先,大家看看以下步驟有沒有問題:

\frac{d}{dx}\tan^{-1}x\equiv \frac{d}{dx}\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})

\Rightarrow \tan^{-1}x\equiv \tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})+C

Put x=1

\Rightarrow C=\frac{\pi}{4}

Hence

\tan^{-1}x\equiv \tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})+\frac{\pi}{4} … … (*)

對嗎?

似乎沒有問題吧,嗯,大家檢查一下,當 x=-\sqrt{3} 時,情況會怎麼。

\tan^{-1}x=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}

\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})=\tan^{-1}(\frac{-\sqrt{3}-1}{-\sqrt{3}+1})=\tan^{-1}(2+\sqrt{3})=\frac{5\pi}{12}

x=-\sqrt{3},(*) 是「不正確」。

為何?

首先,寫

\frac{d}{dx}\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})=\frac{1}{1+x^2}

有沒有「問題」?

起碼有一個,當 x=-1\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1}) 無定義,可見 \tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})x=-1 之處是不可求導(not differentiable)。

事實上,

\displaystyle\lim_{x\rightarrow -1^-}\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})=\frac{\pi}{2},而

\displaystyle\lim_{x\rightarrow -1^+}\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})=-\frac{\pi}{2}

可見 \tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})x=-1 之處,已是不連續,亦即無法求導。

所以,寫

\frac{d}{dx}\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})=\frac{1}{1+x^2}

會否標明 x\ne -1 較好?

(注,當 x\rightarrow -1\frac{d}{dx}\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1}) 確實接近 \frac{1}{1+(-1)^2}。)

另外,

\tan^{-1}x\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1}) 的關係,確實是「差一常數」。

讓我「證明」一下,嗯,以下步驟又是錯的:

考慮

\theta=\phi+\frac{\pi}{4} … … (#)

\tan\theta=\tan(\phi+\frac{\pi}{4})=\frac{\tan\phi+1}{1-\tan\phi}

Let x=\tan\theta

x=\frac{\tan\phi+1}{1-\tan\phi}

\Rightarrow \tan\phi=\frac{x-1}{x+1} \Rightarrow \phi=\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})

By (#),

\tan^{-1}x=\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})+\frac{\pi}{4}

咦,這豈不是 (*) 嗎?但上面已說過,(*) 是「不正確」的。

問題在哪?

究竟 \tan^{-1}x\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1}) 的正確關係是甚麼?

首先,讓我們想想

\tan\theta=x

是否一定推論出

\theta=\tan^{-1}x

這關係?

例如

\tan\theta=1

是否一定推論出

\theta=\tan^{-1}1=\frac{\pi}{4}

呢?

可不是,\theta 還有其他可能,例如 \frac{5\pi}{4},更一般地

\theta=n\pi+\frac{\pi}{4}(其中 n 是任意整數)

那麼,寫

\tan^{-1}1=n\pi+\frac{\pi}{4} 似乎更一般,但為使

\tan^{-1}x 這等多值函數(即輸入一個 x 值,得到多個 \tan^{-1}x 值),變成單值函數(入一個,出一個),通常我們限制

-\frac{\pi}{2} < \tan^{-1}x < \frac{\pi}{2} … … (**)

所以,雖然

\tan\frac{4\pi}{3}=\sqrt{3}

但(比如計算機給的答案是)

\tan^{-1}\sqrt{3}=\frac{\pi}{3},而不是 \frac{4\pi}{3}

就是要符合 \tan^{-1}x 的取值範圍(值域 range),見 (**)。

有了這個考慮,我們再重新看看 \tan^{-1}x\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1}) 的關係。

\tan\theta=x\Rightarrow \theta=n\pi+\tan^{-1}x

\tan\phi=\frac{x-1}{x+1}\Rightarrow \phi=m\pi+\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})

(其中 m,n 皆為某整數)

故由之前推論,知

n\pi+\tan^{-1}x=m\pi+\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})+\frac{\pi}{4}

\Rightarrow \tan^{-1}x=\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})+\frac{\pi}{4}+r\pi

(其中 r 皆為某整數)

因上式左邊是 \tan^{-1}x,故上式右面的值域是 (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})

-\frac{\pi}{2}<\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})+\frac{\pi}{4}+r\pi<\frac{\pi}{2}

留意,\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1}) 的值域也是 (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})

-\frac{\pi}{2}<\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})<\frac{\pi}{4} 時,

-\frac{\pi}{4}<\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})+\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}

故只能取 r=0

\tan^{-1}x=\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})+\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{4}<\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})<\frac{\pi}{2} 時,

\frac{\pi}{2}<\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4}

故只能取 r=-1

\tan^{-1}x=\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})+\frac{\pi}{4}-\pi=\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})-\frac{3\pi}{4}

把上述兩式對應的 x 值範圍找出:

-\frac{\pi}{2}<\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})<\frac{\pi}{4}

\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})\in (-\frac{\pi}{2},0)\cup [0,\frac{\pi}{4})

\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})\in (-\frac{\pi}{2},0)\frac{x-1}{x+1}<0\Rightarrow -1<x<1

\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})\in [0,\frac{\pi}{4})0\le\frac{x-1}{x+1}<1\Rightarrow (x<-1 or x\ge 1) and (x>1)

綜合而得:x>-1

\frac{\pi}{4}<\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})<\frac{\pi}{2} 時,

\frac{x-1}{x+1}>1\Rightarrow x<-1

總結:

For x>-1, \tan^{-1}x=\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})+\frac{\pi}{4}.
For x<-1, \tan^{-1}x=\tan^{-1}(\frac{x-1}{x+1})-\frac{3\pi}{4}.

還有很多關於 \tan^{-1} 想談,但實在太累了,就停於此。

習題

1. \tan^{-1}(-x)\equiv -\tan^{-1}(x) 嗎?
2. \tan^{-1}(x)+\tan^{-1}(\frac{1}{x})\equiv \frac{\pi}{2} 嗎?

1 則迴響 »

  1. Hi,

    A very interesting discussion!

    Cheers,
    Wen Shih

    迴響 由 Wen Shih — 2011/04/05 @ 10:36 下午 | 回覆


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