Quod Erat Demonstrandum

2011/04/12

Transformation of graphs

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 5:59 下午
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因 S6 的 core mathematics 教科書來得較遲,同事唯有放很多時間教 transformation of graphs(圖像的(幾何)變換)這個主題。

這是好的,正如局方的人要求我們授課員,「教到學生明白」那些圖像之幾何變換,而非單單背誦結果。但以現時考題之設定,好像較難反映學生是否「真正明白」,比如:

y=x^3 的圖象,右移 2 個單位,得出新圖象。問該圖象的代數表達式。

學生答:y=(x-2)^3

答案正確。

但學生是「真正明白」為何答案是 y=(x-2)^3

他可以完全不明所以,純粹因為背誦(比如口訣:左加右減)而得出完全答案的正確。

今天在教 transformation of graph 的過程中,問問中五同學:

If the point P(a,b) is rotated through 90^o anti-clockwise about O to the point Q. What are the coordinates of Q?

這本屬中一的學問,但似乎很多同學答不出來,反映了他們當年可能以「背誦式」學習,並非「真正明白」。

要考核學生是否「真正明白」,或可試試用考 Eassy 或口試的方式;但如此行,授課員做 marking scheme,moderation 和批改也頗麻煩。

比如問:

Explain why the graph of y=f(-x) is obtained by reflecting the graph of y=f(x) about the y-axis.

Suggested answer:

For any point (a,b) on the graph of y=f(x),

b=f(a)

b=f(-(-a))

Hence, (-a,b) lies on the graph of y=f(-x).

Also, (-a,b) is obtained by reflecting (a,b) along the y-axis.

Thus, the graph of y=f(-x) is obtained by reflecting the graph of y=f(x) along the y-axis.

我隨便寫上述的「解釋」,但肯定不能取滿分的,同學可以指出上述「解釋」的問題嗎?

甚麼才是「真正明白」?甚麼「解釋」才算是「可以」、「合理」、「有效」、「完美」?

在課程中,我們要學生「明白」 y=f(ax) 圖像。

莫說「明白」,先說「理解」也不易。

比如問:

Describe the way of transforming the graph of y=x^3+x to the graph of y=8x^3+2x.

根據教科書的答法:

The transformation is contracting \frac{1}{2} time along the x-axis.

一個普通人理解「收縮 \frac{1}{2} 倍」這個述語有沒有問題?告訴他把圖像 y=x^3+x 「沿 x 軸收縮 \frac{1}{2} 倍」,他明白/知道得出來的圖像是甚麼嗎?他會否認為,縮放是指沿一個相似中心進行「相似」地縮放(但課程內的 transformation of graph 不是這個)?

「收縮 \frac{1}{2} 倍」等同「放大 2 倍」嗎?(否)

「收縮 \frac{1}{3} 倍」是指「原來的 \frac{1}{3}」還是「原來的乘以 (1-\frac{1}{3})」?

「幸而」,課程不要求諸如 f(\frac{2x-3}{5}) 之類的變換,否則後果堪虞。

無聊習題(即隨便可擬的無聊東西)

1.設 C_1, C_2 分別為 y=\frac{6x^2-24x+27}{3x^2-6x+14}y=\frac{1}{2+3x^2} 的圖像,試描述經由甚麼幾何變換,可以把 C_1 變成 C_2

2.把 y=f(x) 的圖象沿 y 軸反射,得圖像 C_1;如果把 y=f(x) 的圖象沿 x 軸右移 2011 個單位,得圖像 C_2。已知 C_1C_2 的代數表達式是完全一樣,除了 f(x)\equiv kk 是常數)外,試給出一個 f(x) 的可能代數式。

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