Quod Erat Demonstrandum

2011/04/15

又談MVT

Filed under: Fun,HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:05 下午
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如果有 pure mathematics field trips,除了可以去 NYC,參觀:

也可以往


(from MathUpdate)

走走。

同學,上圖看到「生活中的」中值(均值)定理(mean value theorem, MVT)嗎?

近年,在下似乎沒有在堂上證明過 MVT,現在隨意說:

上圖題示了 y=f(x) 的圖像。設它在開區間 (a,b) 可導,且 f(a)=f(b)=0

那麼,在 (a,b) 內必存在某數 \gamma,使

f'(\gamma)=0

下圖所示,看看那「山峰」之處,即點 P。直觀地,我們看到那裡可平放一條水平線,即在 P 點的切線之斜率為零。

故不難想像,P 點的 x-坐標就是所謂的 \gamma,即在 (a,b) 內必存在某數 \gamma,使

f'(\gamma)=0

這結果就是羅氏定理(Rolle’s Theorem)。(注,我沒有證明,純以直觀得之。)

應用羅氏定理之先,必要有 f(a)=f(b)=0 這條件,但一般地,f(a), f(b) 可有不同,見下

那麼我們可以甚麼技巧,弄出一個函數 g(x),使 g(a)=g(b)=0,從而把羅氏定理應用到新製作的函數 g(x) 呢?

這也很直觀,見下圖

那麼命 g(x)=f(x)-(mx+c),則 g(a)=g(b)=0

由羅氏定理,在開區間 (a,b) 內,必存在 \gamma 使

g'(\gamma)=0

f'(\gamma)-m=0\Rightarrow f'(\gamma)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow f(b)-f(a)=f'(\gamma)(b-a)

運用 MVT,我們可以隨便製作一些習題,見下:

Let \alpha,\beta (\alpha<\beta) be distinct real roots of P(x)=0.

It is given that P(x) is differentiable on (\alpha,\beta).

Prove that P'(\gamma)+2011P(\gamma)=0 for some \gamma \in (\alpha,\beta).

同學,先試試吧。

我們考慮

f(x)=e^{2011x}P(x)

f(\alpha)=f(\beta)=0

由 MVT(或 Rolle’s),即存在 \gamma\in(\alpha,\beta) 使

f'(\gamma)=0

因,f'(x)=e^{2011x}P'(x)+2011e^{2011x}P(x)

故,e^{2011\gamma}P'(\gamma)+2011e^{2011\gamma}P(\gamma)=0

得結論。

更一般地,若我們考慮

f(x)=e^{g(x)}P(x),再配合 MVT,或許可以產生不太直觀的結果。

P.S.

有關美國數學博物館,詳見:

http://momath.org/

及有關報導,比如:

https://simonsfoundation.org/mathematics-physical-sciences/news/-/asset_publisher/bo1E/content/kindling-the-mathematical-muse?redirect=%2Fmathematics-physical-sciences%2Fnews

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