Quod Erat Demonstrandum

2011/08/17

還是數算

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE,NSS,Teaching — johnmayhk @ 11:29 下午

暑假補課(注 1)時,學生問:

There are 10 empty boxes. 5 balls are going to put one by one into a randomly selected box. Find the probability that two of the boxes each contains 2 balls.

習題給的解是:

\frac{9}{10}\times \frac{8}{10}\times \frac{3}{10}\times \frac{2}{10}

大家認為,上述的解正確嗎?

根據習題解答,其思路應是如下:

第 1 個球,隨便入盒。
第 2 個球,放在另一個盒,概率(注 2)是 \frac{9}{10}
第 3 個球,放在和之前兩個盒不同的另一個盒,概率是 \frac{8}{10}
第 4 個球,放在之前 3 個分別盛著 1 個球的盒的其中一個,概率是 \frac{3}{10}
第 5 個球,放在之前 2 個分別盛著 1 個球的盒的其中一個,概率是 \frac{2}{10}

故,P(two of the boxes each contains 2 balls) = \frac{9}{10}\times \frac{8}{10}\times \frac{3}{10}\times \frac{2}{10}

大家認為,上述的想法正確嗎?

首先,那些球和盒子,是可區別的(distinguishable)還是不可區別(indistinguishable)?

看上述所謂解答:

\frac{9}{10}\times \frac{8}{10}\times \frac{3}{10}\times \frac{2}{10} = \frac{10\times 9\times 8\times 3 \times 2}{10^5}

從樣本空間的元的數目(嗯,這裡是說上述答案的分母)是 10^5 看來,球和盒子都是可區別的(注 3)。

何謂可區別和不可區別?

舉例,把 5 個不可區別的球放在 A,B,C 三個不同的盒中,可以有以下一個情況:

但如果 5 個球是可區別的,表之曰:①②③④⑤,則上述的情況(即 A,B 各放兩球,C 放一球),其實還有很多可能性,比如:

等等。

習題的解,把 ① 先放在隨便一個盒(10 種放法),
再把 ② 放在另一個盒(9 種放法),
再把 ③ 放在和之前兩個盒不同的另一個盒(8 種放法);

即是把 ①,②,③ 放於不同的盒,可以出現上圖的頭兩種情況;但這個「把 ①,②,③ 放於不同的盒」的(額外附加不合題意的)條件,不能出現諸如上圖的第三種情況。也就是說,習題的解「數漏了」一些情況。

我的解是

\frac{C_2^{10}\times C_2^5\times C_2^3\times 8}{10^5}

想法是

先從 10 個不同盒子選 2 個(共 C_2^{10} 種選法),用以各放兩球。
再從餘下 8 個空盒選出一個(共 8 種選法),以放一球。
如此,已有 C_2^{10}\times 8 種方法。

好了,假定我們已選定A和B盒各放兩球,C盒放一球。比如以下三個情況:

上述資訊可另表如下:

①②③④⑤
ABCAB
CABBA
AABBC

可見,把 5 個可區別的球 ①②③④⑤,以題目要求的方法,放在A,B,C三個盒的情況,就相當於把字母AABBC排列在一行的情況。

我們可以先從 5 個位置,選出 2 個(共 C_2^5)放置字母A;
再從餘下的 3 個位置,選出 2 個(共 C_2^3)放置字母B;
最後字母C一定放在餘下的一個位置。
故「AABBC」共有 C_2^5\times C_2^3 種排列。

亦即,把 5 個可區別的球,以題目要求的方法,放在 10 個可區別的盒子,共

C_2^{10}\times 8\times C_2^5\times C_2^3

種情況。即要求的概率是 \frac{C_2^{10}\times C_2^5\times C_2^3\times 8}{10^5}

補充一:習題的解 \frac{9}{10}\times \frac{8}{10}\times \frac{3}{10}\times \frac{2}{10} 和剛剛的解 \frac{C_2^{10}\times C_2^5\times C_2^3\times 8}{10^5} 的關係如何?

注意:

\frac{C_2^{10}\times C_2^5\times C_2^3\times 8}{10^5} = \frac{9}{10}\times \frac{8}{10}\times \frac{3}{10}\times \frac{2}{10} \times \frac{5}{2}

如何理解 \frac{5}{2} 這個「因子」?

讓我以排列「AABBC」為例。

正確來說,我們有 C_2^5\times C_2^3 = 30 種方法。但習題的解附加了「把 ①,②,③ 放於不同的盒」的條件。而此條件,即是要把A,B,C排在頭 3 個位置,共 3! 種情況;再把餘下的兩個字母A,B放在第 4 和第 5 位,共 2 種情況。故此,習題解數算出 3!\times 2 = 12 種情況。也是說,習題解所數算出的情況中,每 12 種代表著 30 種正確情況,故把習題解的答案,乘以 \frac{30}{12}=\frac{5}{2} 就是正確答案了。

補充二:始終感到「概率和數算」的教學比較難,就算給了所謂解答,亦未必足夠,特別是學生有他的想法,要指出計算的漏洞,也較困難。

例如,就是上題,計算抽出兩盒,再從 5 球選 4 個,兩兩放入盒中,究竟是 C_2^5C_2^3, C_2^5C_2^3\times 2 還是 \frac{C_2^5C_2^3}{2} 也可以產生混亂。又例如,某學生的解是

\frac{10}{10}\times \frac{1}{10}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{10}\times \frac{8}{10}

他的想法是:

第 1 個球,隨便入盒。
第 2 個球,放在同一個盒,概率是 \frac{1}{10}
第 3 個球,放在另一個盒,概率是 \frac{9}{10}
第 4 個球,放在第 3 個球的盒,概率是 \frac{1}{10}
第 5 個球,放在餘下的空盒的其中一個,概率是 \frac{8}{10}

那麼漏洞在哪?大家有興趣破解嗎?

注 1:為應付第一屆 HKDSE,本年度(2010-2011)中五(升中六)的特區學生(及老師),在所謂暑假裡,回校補課的經驗,相信是香港開埠以來最豐富的。在補課時數方面,我校不太進取:起碼沒有用六個星期,每天朝九晚八地要求學生暑假補課。但當習「非」成「是」後,「變態」變成「常態」時,事情就是理所當然。估計沒有修 M1 的學生,對 Core Mathematics 中有關 counting and probabilities 的部份,表現較有修讀修 M1 的學生弱(重申:是靠估的),所以我安排在暑假補一補。

注 2:指的是條件概率。

注 3:考慮可區別的球和盒子應是自然的,起碼樣本空間是 equiprobable 才比較自然。另外,有關「數算球盒」,隨便找來以下總結,參考一下:


其中:

發表迴響 »

仍無迴響。

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在 WordPress.com 建立免費網站或網誌.

%d 位部落客按了讚: