Quod Erat Demonstrandum

2011/08/19

某數算題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE,NSS,Teaching — johnmayhk @ 6:34 下午

If three tickets are chosen at random without replacement from a set of 6n tickets numbered respectively 1, 2,…, 6n, what is the probability that the sum of the numbers on the numbers on the chosen tickets is 6n?

$\left \{ \begin{array}{ll} x+y+z=6n\\x < y < z\end{array}\right.$

【方法一】

$x$ 是 3 個被選出的數字中最小的數，

$x=1$ 的前提下，有多少個 $(x,y,z)$ 呢？

$(1,2,6n-3), (1,3,6n-4), (1,4,6n-5)\dots$

「最後一個」是甚麼？

$y$ 值由 2 開始，每次上升 1，$z$ 值由 $6n-3$ 開始，每次下降 1。

$y+z=6n-1$，且 $y < z$，故「最後一個」是 $(1,3n-1,3n)$

$x=1$ 的前提下，有

$(1,2,6n-3), (1,3,6n-4), (1,4,6n-5)\dots (1,3n-1,3n)$

$(3n-1)-2+1 = 3n-2$ 個可能解。

$x=2$ 的前提下，有

$(2,3,6n-5), (2,4,6n-6), (2,5,6n-7)\dots (2,3n-2,3n)$

$(3n-2)-3+1 = 3n-4$ 個可能解。

$x=3$ 的前提下，或許同學以為有 $3n-6$ 個，小心！非也。

$y+z=6n-3$，且 $y < z$，「最後一個」不是 $(3,3n-3,3n)$，而是 $(3,3n-2,3n-1)$

$(3,4,6n-7), (3,5,6n-8), (3,6,6n-9)\dots (3,3n-2,3n-1)$

$(3n-2)-4+1 = 3n-5$ 個可能解。

$x=4$ 的前提下，有

$(4,5,6n-9), (4,6,6n-10), (4,7,6n-11)\dots (4,3n-3,3n-1)$

$(3n-3)-5+1 = 3n-7$ 個可能解。

$x=2n-1$，只有

$(2n-1,2n,2n+1)$

$3n-k$

$(3n-2)+(3n-4)+(3n-5)+(3n-7)+(3n-8)+\dots +1$

$= 1+2+4+5+7+8+\dots+(3n-4)+(3n-2)$

$= 1+2+3+4+5+\dots+(3n-2)-(3+6+9+\dots+(3n-3))$

$= \frac{(3n-2)(3n-1)}{2}-3\frac{n(n-1)}{2}$

$= 3n^2-3n+1$

【方法二】

$\left \{ \begin{array}{ll} x+y+z=12\\x < y < z\end{array}\right.$

●　●　●　●　●　●　●　●　●　●　●　●

●　●│●　●　●　●　●　●　●│●　●　●

●　●　●│●　●　●│●　●　●　●　●　●

{1,1,10}
{2,2,8}
{3,3,6}
{5,5,2}

$(x,y,z)=(1,1,10),(1,10,1),(10,1,1)$

$C_2^{11}-1-4\times 3$

$(1,2,9),(1,9,2),(2,1,9),(2,9,1),(9,1,2),(9,2,1)$

$3!=6$ 個情況，但只有 $(1,2,9)$ 才合題意（$x < y < z$），即

$\frac{C_2^{11}-1-4\times 3}{3!}=7$

$(1,2,9)$
$(1,3,8)$
$(1,4,7)$
$(1,5,6)$
$(2,3,7)$
$(2,4,6)$
$(3,4,5)$

$C_2^{6n-1}-1-3(3n-2)$