Quod Erat Demonstrandum

2011/08/20

無聊講數

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 12:03 上午

因不想再在全球最爛的書:facebook 寫東西,就把部份在那裡寫過,有關數學的廢話張貼於此,以作記錄。

【亂與序】
2009-06-30

數學題:你可否看出下列數字的規律?

(a) 1, -1/3, 1/5, -1/7, 1/9, -1/11, …

(b) 7, 8, 5, 3, 9, 8, 1, 6, 3, 3, 9, 7, 4, 4, 8, 3, 0, 9, 6, …

對於 (a),相信小學生也沒有問題吧,它是很有規律的,符合某種「序」。

至於 (b),似乎有點雜亂無章,難以辨識,一字記之曰:「亂」。

如果我告訴你,(a) 和 (b) 不過是「一個銀仔o既兩面」,即是,它們其實(在某種看法上)是一樣的,不知你的感受如何?

不況開啟電腦中的「小算盤」(選工程型 mode),計一計圓周率 PI,除以 4,答案就是

0.78539816339744830961566084581988…

其小數位的數字,這就是 (b) 這個數列。

至於 (b) 怎樣和 (a) 有關,這個對不起,相信要修高中數學的同學,才明白以下關係:

千變萬象,背後或許存在某種規律,且可能是極簡單的。

規律有時是容易察覺,有時不然。

一滴墨水落入清水,最終結果可料,當中過程難測。

看破眼前的「亂」,思緒的「亂」,才以覓尋最高的「序」。共勉之。

【講數】
2009-09-09

某次老師團契小組的遊戲中,問某同事:「說出一位數學家的名字」,她答:「盛裕定」(是濟記數學科主任),我們一眾老師也笑了笑。不錯,在她或在我的眼中,盛 sir 確是一名數學家。

同學或許覺得:「數學 = 計數」又或者,數學的是非對錯很「清楚」,沒有什麼討論餘地。不過,有些時候數學也不一定「絕對清楚」,一些現在視為理所當然的概念或看法,在歷史的長河不知經過幾多激辯,才會得到現在的「製成品」(又或許,「製成品」不過是協調下的方案,甚或因反對者佔少數而他們的聲音被「壓倒」,反對者可能從沒有認同過。)

在微積分學建立之初,已得到不少驕人成就,但在運用微積分的過程,出現一些基本缺憾。

比如對於 y = x^2,求 y 的導數(derivative):即當 △x 趨向零,「△y 除以 △x」趨向什麼值?當時牛頓(等人)的做法是考慮

[(x+△x)^2 – x^2]/(△x)
= 2x(△x/△x) + △x – – – – – – (*)

之後,

(*) 的第一項取 (△x/△x) = 1[因為 △x 不是零,故 (△x/△x) = 1]
(*) 的第二項取 △x = 0[看,這裡取 △x 是零]

故 (*) 變成

dy/dx = 2x(1) + 0 = 2x

答案正確,但當中有非常嚴重的邏輯問題:

△x 有時是零,有時不是零!非常「老屈」。(相信不少高中同學在物理堂也有過這樣的疑問吧?)

當時有名貝克萊主教,就是對諸如上述的疑問提出猛烈批評,連牛頓等人也「無力招架」,史稱「第二次數學危機」(我只是隨便說說,有興趣者可以自行發掘)。最後,終於由柯西和維爾斯特拉等人創立數學分析學,彌補求導的嚴謹性。

近日在博客和某讀者「激辯」某個課題,其實我真的很累,不想打字,不過興趣使我欲罷不能…大家有沒有什麼意見?

【我居然夠膽講:投資】
2009-11-21

投資,最基本的概念是:

1.回報(return)
2.風險(risk)

以最簡單的分類:高、低,我們可以把投資項目分為:

高回報、高風險
高回報、低風險
低回報、高風險
低回報、低風險

假設投資者是理性的,他們追求的,必然是:高回報、低風險。

如何選擇適合的投資項目?應用數學。

對於不同的投資項目,比如股票(Stock)或債券(Bond),存在不同的回報與風險,如何量化它們?

我們可以根據該投資項目的過往「業績」(例如每年的報告)計算平均回報 μ。

另外,回報每年有參差,參差程度愈高,反映風險愈高。

中五同學學過,參差程度可以標準差量度,故此,投資項目的風險可以用回報的標準差 σ 量化。

要決定選舉什麼投資項目,我們可參考所謂效用函數(Utility function)。

我們想像一個函數 u,它和回報和風險有關,即 u = f(μ,σ);

且它會滿足:

回報高(即 μ 大)時,u 大。
風險低(即 σ 小)時,u 也大。

世界上有無限種這類的函數。

隨便可以找一個,比如

u = μ – 0.005Aσ^2

(同學會問,為何要這樣設立?我暫時只可說:「不要問,只要信。」)

其中 A 是一個指數,用作反映投資者厭惡風險的程度,它通常設在介乎 0 與 10 之間。

A = 0 代表投資者完全無視風險,只關心回報。
A 愈大,代表投資者愈「穩陣」。

如何知道最適合自己的 A 值?要做分析,從略。

美國經濟學家 Professor Harry Markowitz 提出現代投資組合理論(Modern portfolio theory),研究如何小心選取不同的經濟資源(assets)以求最大回報及最低風險。

採取不同的投資組合,就是「分散投資」。

原來對於極保守的投資者,也可投資一部分高回報高風險的項目上,因為數學上可以證明:「分散投資」可以降低風險,同時可以提升回報。

這裡是個極簡化的例。

把資金的

100w% 投放於股票
100(1-w)% 投放於債券(其中 0 <= w E(B);而債券比股票的風險為低。

(注 :E(X) 即 X 的期望值,或曰平均值;那麼 E(S) 和 E(B) 即分別是股票和債券的平均回報。)

所以

E(R)
= E(wS + (1-w)B)
= wE(S) + (1-w)E(B)
> wE(B) + (1-w)E(B)
= E(B)

即分散投資(股票 + 債券)的回報比單純投資債券高。

現在計算分散投資的風險,即

Var(R)
= Var(wS + (1-w)B)
= w^2Var(S) + (1-w)^2Var(B) + 2Cov(wS,(1-w)B)

σ_R = [w^2(σ_S)^2 + (1-w)^2(σ_B)^2 + 2w(1-w)ρ(σ_S)(σ_B)]^(0.5) … (*)

其中 ρ = Corr(S,B) 是 B 和 S 的相關係數(coefficient of correlation)。

觀察 (*),理論上如果我們知道 ρ,只要小心地選取 w(即分散投資的比例),有辦法做出

σ_R < σ_B

的效果,即分散投資的風險比單純投資債券還要低。這似乎不是常識。

好了,只能講到這裡。

莫說投資,在下連六合彩也從未買過,居然夠膽講投資。

不過,其實我講的,不過是中學數學而已。

【生活中的數學之六合彩】
2010-09-30

昨天寫了以下 status:

"數學通識作文題:六合彩由 2010 年 11 月 9 日起調高每注金額由 5 元加至 10 元,有評論員稱:「每注金額增加一倍,即得獎機會減半,因為以前 10 元可以買兩注,現在只能買一注。」你贊成他的言論嗎?為什麼?"

今天同事談了這問題,讓我補充些少。

首先,無論買多少注,對於某一注,某一張彩票,它中(頭)獎機會是不變的(假設仍是 49 個球)。

但按常理,買的彩票愈多,整體上,中獎的機會愈大。

回答「機會減半」的問題,讓我們逆向地想一想:

「買兩注而中獎之機會」是否等於「買一注而中獎之機會」之兩倍?

讓我簡化,不談六合彩。

設莊家擲一骰子。

你買一注(即估點數),中獎機會是 1/6。

好,現在買兩注,那麼中獎機會是什麼?

中獎者,兩注其中一注估中即可。

那麼,中獎情況如下:

1. 兩注皆中(即你買相同點數,正是莊家開出的點數),機會是 (1/6)(1/6) = 1/36。
2. 其中一注中,機會是 (1/6)(5/6) + (5/6)(1/6) = 10/36。

故買兩注而中獎之機會是

1/36 + 10/36 = 11/36。

中獎機會較之前(1/6)大,但並非兩倍。

對低年級同學,讓我明列之:

買兩注,共有

(1,1) , (1,2) , … , (6,6)

6*6 = 36 種可能組合。

設莊家將會開"1",那麼,中獎情況是

(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)

共 11 種可能,即

買兩注而中獎之機會是 11/36。

當然,真正下注時,正路不會買相同點數(重覆投注)。

所以買兩注,正常只有

36 – 6 = 30 種組合。

如此,中獎情況只有

11 – 1 = 10 個

故買兩注而中獎之『條件』機會是 10/30 = 1/3,真的是原來的兩倍。

一般地,買一注有 n 種可能組合,
(如上例,n = 6;如果是六合彩,n = 49C6)

則買一注中(頭)獎之機會是 1/n。

買兩注,分兩個情況:

(一)盲目型,即包括兩注相同,中獎機會是

1 – (1 – 1/n)^2 = 2(1/n)(1-n)/n

(二)正路型,即不會重覆下注,即中獎機會是

(1/n)[(n-1)/(n-1)] + [(n-1)/n][1/(n-1)] = 1/n + 1/n = 2/n

我要強調,這是買兩注而中獎的『條件』機會率。

如果買三注,也分兩個情況:

(一)盲目型,即包括兩注甚至三注相同,中獎機會是

1 – (1 – 1/n)^3

(二)正路型,即不會重覆下注,即中獎機會是

(3C1)(1/n)[(n-1)/(n-1)][(n-2)/(n-2)] = 3/n

即,「買三注而中獎之『條件』機會率」是「買一注而中獎之機會」的三倍。

好了,談回六合彩,買一注由 $5 變成 $10,但頭獎派彩由 500 萬上調至 800 萬,那麼對買六合彩的人有沒有「著數」?

考慮極度簡化的情況,考慮獎金之期望值,用相同本金,$10,設 p = 中頭獎次機會 = 1/(49C6)

改制前,期望值 = 5000000*p – 10
改制後,期望值 = 8000000*(p/2) – 10 = 4000000p – 10 [這裡是考慮『正路』情況]

比之前明顯少了。

真正算一算,

改制前,期望值 = -9.642443808
改制後,期望值 = -9.713955046
(不是賺少了,而是蝕多了!)

當然,實際的計算複雜得多,包括一注獨中的機會會否較改制前高?改制後,投注總額會有什麼變化?

同學,有沒有興趣做這個題目的專題研習,甚或寫篇數學論文研究一下?

【小學雞數學題】
2010-09-15

「因式分解 x + y + xy + 1」

這是一般問法,如無意外,中二同學懂得解決的。

但如果問:

「找出所有正整數 x 和 y 滿足 x + y + xy = 23932271。」

學生會否覺得「好玩」一點?

解決這題的主要技巧和之前的如出一轍。

用學校電話 23932271 純粹製造「戲劇」效果,無聊至極。

x + y + xy = 23932271

變成

x + y + xy + 1 = 23932272

再由因式分解,得

(x+1)(y+1) = 23932272

一上網,即知

23932272 = (2^4)*3*7*13*5479

(x+1)(y+1) = (2^4)*3*7*13*5479

到了這步,同學幫我完成它吧。

【生活中的數學:奪 A 機會】
2010-09-06

聲明:我既非「打手」亦非「借刀」,只是太子站瞥見廣告,順道講數。

圖中聲稱:「兩個奪 A 的學生 約有一個補 Daniel」

此句宣傳句子給人什麼印象?

是否說「補 Daniel,就有一半機會奪 A」?非也。

「兩個奪 A 的學生 約有一個補 Daniel」是有關「條件機會率」的陳述,這裡的條件是:「奪 A 的學生」。

即是,如果你是「奪 A 的學生」,你有約一半機會是補 Daniel(假設該聲稱正確的話)。

如果你並非奪 A 的「材料」,補 Daniel 幫到你嗎?

注意,全港奪 A 者乃屬少數。

設(某年考經濟的)考生人數為 8000,奪 A 者為 400(僅佔 5%),

即(假設該聲稱正確的話)當中補 Daniel 者約有 400*50% = 200。

如果 Daniel 共有學生 2000,即補 Daniel 而奪 A 者佔 200/2000 = 10%,即「補 Daniel 而奪 A」之機會率是 10%。

如果 Daniel 共有學生 4000,即補 Daniel 而奪 A 者佔 200/4000 = 5%,即「補 Daniel 而奪 A」之機會率是 5%。

如果 Daniel 共有學生 8000,即補 Daniel 而奪 A 者佔 200/8000 = 2.5%,即「補 Daniel 而奪 A」之機會率是 2.5%。

可見「補 Daniel 而奪 A」之機會率是遠低於 50%。
(注:如果他只有 400 學生,則「補 Daniel 而奪 A」之機會率是 50%。這真是非常厲害!但若果真如此,宣傳句子理應寫得更有霸氣。)

【看 blog 後感】
2010-08-16

葉老師引

http://portal.michaelc.org/inews/online/20100814-hkej/file337.htm

指出「香港…教育改革家猛烈批評」的教學法卻「培養出數學家」。

明白葉老師反教改的立場,但他以劍橋大學為例似乎略欠公允。

大專講師教授,少有如中小學授課員般,以不同進路不同教學策略把知識傳遞;一來內容太多時間不足,二來學生有相當程度,學習較主動。如以「大專講師」式教授(特別是)初中學生,後果堪虞。

不少初為大專生的人,批評講師教授「不懂教書」,或許是學生受中小學授課員「照顧」太久,誤以為到大學還有「老師」「餵食」。另外,(應該是我孤陋寡聞)我從未聽過大專講師接受什麼類似教育學院的訓練,諸如大學數學教學法、大專課室管理云云。

個人經驗:大專學習很少純粹在講課(lecture)中發生,課後向講師提問、導修、自行閱讀材料及和同學交流才是學習的王道。講課內容只是大綱,自己必要下功夫。

不過,正如小學的活動教學法,影響了學生學習模式;部份中學授課員也會調適教學方法,策略多元。那麼將來的大專教育,會否亦要配合「新高中」畢業生的學習模式態度,以學習者為中心?

近日,在不同場合也聽人問:如何教小學生明白

1/2 + 1/3 = 5/6

(不少小學生甚至初中生問:為何不是 1/2 + 1/3 = (1+1)/(2+3)?)

學生在紙上給出正確答案 5/6,未必一定明白當中的概念;如果中一引入數學口試(oral examination)(注:一些中學一早已有數學口試),我也想問這題。

盧偉成校長在小學簡介會中提到:「身為數學老師,如果『唔明學生點解唔明』是不負責任的。學生唔明,你用同樣方式再講 10 次都冇用!侮辱學生愚蠢更是不可取!」(大意)對,因材施教就是授課員重要之處,是書本、電腦和 search engine 不能取代中小學幼稚園授課員的理由。

雖然大部份港人不相信:教育確實是一門專業。

【「立體心形」,「成功要素」】
2011-04-07

致 5D 同學:堂上談及的「立體心形」方程式如下

(x^2 + 9y^2/4 + z^2 – 1)^3=x^2z^2 + y^2z^3/9

要把它繪出來,可往

http://www.wolframalpha.com/

輸入(just copy and paste the following)

ContourPlot3D[(x^2 + 9*y^2/4 + z^2 – 1)^3 == x^2*z^3 + y^2*z^3/9, {x, -3/2, 3/2}, {y, -3/2, 3/2}, {z, -3/2, 3/2}]

一按 Enter,即可。

多年前帶過一個「遊戲」,主題是:要成功,我們需要甚麼?

讓同學提議一些他們認為的「成功要素」,比如

knowledge

我即以 a=1,b=2,c=3,…,z=26 作轉換,把該「成功要素」計分。

比如 “knowledge" 的得分是

11+14+15+23+12+5+4+7+5 = 96

頗高分吧,隨即著學生估計:甚麼「成功要素」才可得到 100 分?(答案在文末找)

為方便同學試試,我隨便做個 excel file(見下),只要在儲存格 A2 內輸入英文字,一按 enter 便可得分:

http://dl.dropbox.com/u/19150457/johnmayhk-word-score.xlsx

當然,這不過是「引起動機」的技倆,上述分數之高低與「成功要素」根本不相干。比如 “diligent" 的得分只有 80,太少吧,唯一笑置之。

好,入正題。

上述轉換,即 a=1,b=2,…,z=26 不過是其中一種方式。

中二同學,你記否在數學課內談過另一種?

此乃 16 進制也。

即以 16 個數碼

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

表示數值,其中 A=10, B=11, …, F=15。

比如

16 進制的 ABC

等於

10 進制的 10*16^2 + 11*16 + 12 = 2748。

有否想過,如果用盡 26 個英文字母,我們就可產生 36 進制的數字系統。

比如

36 進制的

APPLE

即是

10 進制的 1*36^4 + 16*36^3 + 16*36^2 + 12*36 + 5 = 2447285。

易知 2447285 不是質數(prime),但有沒有有意思的英文字,它代表的(10 進制)數字是一個質數?

原來以下的專業

AGRONOMIST

BALLOONIST

CELLIST

CHRONOLOGIST

DRAMATIST

ECOLOGIST

HORTICULTURIST

HYPNOTIST

INSTRUMENTALIST

MYCOLOGIST

NEUROLOGIST

PALEONTOLOGIST

PARATROOP

PEDIATRIST

RADIOLOGIST

TAXIDERMIST

TRUCKMAN

VEXILLOLOGIST

都是質數,多少有點「神秘感」吧?

上述列舉的乃參考一個歷久彌新的數普網站:

http://www.cut-the-knot.org/recurrence/word_primes.shtml

同學有時間看看吧。

(「態度」可讓你成功取得 100 分,試試看!)

【無聊講數之小學數學之應用】
2011-04-24

前前校長鍾修士知我是「同道中人」,某次我到校長室找他,他忽然考我數學,曰:

「知唔知七巧板(Tangram)可以拼出多少個凸多邊形(convex polygon)?」

果然是神級問題,不能秒之,在下頓時理屈詞窮,唯用在下顏冊之名字回敬:吳知。

網上不難找到以下資訊:「20世紀30年代,日本數學家曾提出一個論題:用一副七巧板能拼出多少個不同的凸多邊形?1942年中國浙江大學兩位數學家在《美國數學日刊》上發表答案:13種。智力專家周偉中的回答是300多種。」

有關「13 種」的證明,網上可尋(但在下並未細察);但「300多種」如何?還要問問周中師傅了。

當然,大部份港人會認為:諸如七巧板之類的數學遊戲,乃屬無聊小學雞玩意。贊同!但如果把數學「遊戲」應用到日常生活,或一些獨特設計之中,那麼數學可能還有一丁點價值吧。

以前在小學的《一里通馬國明》的節目裡,看過如何把正方形分割四份,再拼出一個正三角形,見下:

這麼多年後才看到上述結果的「應用」:做變型桌子。見下


作攻打四方城之用


作審犯之用

好,大家估下,上述桌子有多少隻「腳」?

click click 看:

http://momath.org/home/math-monday-04-04-11/

當然還有不少帶有數學概念的設計,下次刪除這 note 後再談吧!
朋友,祝安康!

【小學數學教室之加減數】
2011-04-30

時人比較熟悉的魔術師,包括 Cyril Takayama、Criss Angel、劉謙、失手洪金寶等等。

但我的偶像始終是大衛高柏輝/飛(David Copperfield)。他在鏡頭前的所有魔術,比如「穿越長城」之類,全屬「旁觀者迷,當局者清」,凡人如我,破解無從,except the following:

以下是大衛的某表演,先讓大家有所準備,一會兒後,請大家

1. 心想一個介乎 5 到 15 的整數:x
2. 逆時針「行」x 步
3. 順時針「行」x 步
4. 逆/順時針「行」4 步

OK?

好,去片

雖屬小學數學(加減數),但效果也不錯,比如用公仔,一個數字也不出現;轉動箭咀和公仔墜落之類。

好了,無聊解釋下:先把公仔編號碼,見下

由哈哈笑出發,逆時針「行」x 步,到達「x-2」的位置。

由「x-2」的位置出發順時針「行」x 步,到達

(x-2)-x=-2=10 (mod 12)

即「10」的位置。好了,希望「行」多 4 步,終點是「flying to the moon」,即「3」的位置,見:

我們只要在「10」和「3」的位置之間保留 3 步,透過(隨便)移去一些圈圈而得,見:

好,收口,送多個魔術給大家作結:

http://www.youmaker.com/video/sv?id=51485816d3124842bc22d463af60dc51001&f=fs

【某舊魔術】
2011-07-06

在 N(> 10)年前某營會中,遇上一個數學「魔術」,大家可以試玩:

http://faculty.uml.edu/rmontenegro/research/kruskal_count/kruskal2.html

至於 Krustal Count 的原理,請朋友幫我找找了:

http://arxiv.org/abs/math/0110143

【數學「魔術」之多項式】
2011-07-15

不務正業太久,終於有時間「講數」。

今次談一個初中數學「魔術」,玩法是:

叫你朋友隨便寫個「一元二次多項式」,唔好畀你知。

可能有很多港人忘記中一時學過的「一元二次多項式」。其實所謂「一元二次多項式」,就好似下面寫的東西:

有數字,有 x,而 x 最大的冪(power) 是 2。

為免你朋友「玩o野」,寫埋D怪物(如下):

你可以要求多項式的係數(coefficients)是「10 以內的整數」之類。

好了,假設他真的寫了以下的多項式:

隨即要求他計 3 條數,就是分別把 0,1,2 代入他寫出的多項式,問他答案是多少。

可能有很多港人忘記何謂「代入多項式」,其實即係:

因為「加減乘」是史上最困難的算法,為免「魔術」失靈,最好提供計算機借用服務。

好了,當朋友計完數,到你開工。

首先,把朋友得出的 3 個答案,順序寫下:

好了,現在進行「後項減前項」的運算,即計算 6-(-2)=8 和 20-6=14,得第二行(見下),同樣,在第二行進行「後項減前項」,即得 14-8=6,此乃第三行。

好了,朋友的多項式已敗露。

假如朋友的多項式是

那麼:

1. 第三行的數字除以2(即 6/2 = 3)就是 a。
2. 第二行第一個數減 a(即 8-3 = 5),就是 b。
3. 第一行第一個數(即 -2),就是 c。

亦即朋友的多項式是

修應數的同學,記得插值法(method of interpolation)嗎?這不過是特例。


(將來應該面對愈來愈多這樣怒氣沖沖的學生。)

【小學數學「魔術」之:喜歡的書】
2011-07-20

我列了 10 本書,讓我估一估你最喜歡是哪一本書… …

Step 1: 由 1 至 9,隨便選個數字(整數)。
Step 2: 把該數字乘以 3。
Step 3: 把上述答案加 3。
Step 4: 把上述答案乘以 3。
Step 5: 答案是兩位數吧?把兩個位值相加。

好了,如果 Step 5 的答案是 4,參考下表,你「最喜歡看的一本書」就是《市場的邏輯》。如此類推。(你的答案是甚麼?被估中了嗎?)

1.《入夢紀詩集》
2.《君子以經綸》
3.《愛彌兒》
4.《市場的邏輯》
5.《經濟解釋》
6.《中文起義》
7.《民主細節》
8.《好壞英語》
9.《臉書》
10.《七十年代》

初中同學,請破解上述所謂魔術之原理。

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