Quod Erat Demonstrandum

2011/08/24

無聊談談三角形數

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 4:59 下午

無聊談談三角形數(Triangular number)。

第一個三角形數是 1;

第二個三角形數是 3;

●●

第三個三角形數是 6;

●●
●●●

第四個三角形數是 10;

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●●●
●●●●

一般地,第 n 個三角形數(表之曰 T_n)是

T_n = 1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}

已有很多關係三角形數之有趣性質,比如:

8T_n+1 一定是平方數(square number)。

為何?一看下圖(用唔夠一分鐘畫,手機拍下,hea 做也)便知:

這樣,可以和小學生解釋。

若以代數證之,曰

8T_n+1
=\frac{8n(n+1)}{2}+1
=4n^2+4n+1
=(2n+1)^2

平方數是也。

另一些給果,似乎難以圖像示之,比如:

T 是三角形數,則以下都是三角形數。

9T+1,
25T+3,
49T+6,
81T+10,
121T+15,
169T+21,

即是,例如 T=10,即

9\times 10+1=91 也是三角形數,諸如此類。

同學,試證明一下吧。

其實沒有甚麼特別,三角形數乃形如

\frac{N(N+1)}{2}

者。

取特別的 N,比如 N=an+b,得三角形數

\frac{(an+b)(an+b+1)}{2}

=\frac{a^2n^2+a(2b+1)n}{2}+\frac{b(b+1)}{2}

再取 2b+1=a,得

\frac{a^2n^2+a^2n}{2}+\frac{b(b+1)}{2}

=a^2(\frac{n(n+1)}{2})+\frac{b(b+1)}{2}

看到嗎,這個 \frac{n(n+1)}{2} 是三角形數。

故此,

b=1a=3,得 (3)^2T+1=9T+1 是三角形數;

b=2a=5,得 (5)^2T+3=25T+3 是三角形數;

b=3a=7,得 (7)^2T+6=49T+6 是三角形數;

諸如此類。

也有些結果在維基,同學,有時間看看吧:

http://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number#Triangular_roots_and_tests_for_triangular_numbers

3 則迴響 »

  1. You may find the following problem(s) interesting. Can a triangular number also a square number? If so, how many can you find? Can you find all of them?

    迴響 由 koopakoo — 2011/08/25 @ 1:10 上午 | 回覆

  2. For every tri-square, they must satisfy the equation

    n(n+1)/2=m^2

    which can be simplified to Pell’s equation

    (2n+1)^2=8m^2+1

    then use the standard result of Pell’s equation.

    迴響 由 Charlie — 2011/08/25 @ 12:11 下午 | 回覆


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