Quod Erat Demonstrandum

2011/08/29

久違了的簡單幾何題

Filed under: Junior Form Mathematics,mathematics — johnmayhk @ 4:04 下午
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補課時無聊問:

參考上圖,D, E, F, 分別在 BC, CA, AB 之上。其中 AF:FB = BD:DC = CE:EA = 2。

求 △DEF 和 △ABC 之面積比。

同學說,他在小學時做過上題。不錯,那本是小學數學,中學同學也可以先試試,重溫一下。

答案是 1:3。

::::::::::

未試過解上題的同學,可先試做。

::::::::::

相信有同學忘記了小學時學過的解法,現在略談。

設 △ABC 面積是 1 個單位。請問 △AFE 面積是多少?

視 AE 為 △AFE 的底;AC 為 △ABC 的底;

那麼,△AFE 和 △ABC 的底邊長的比是 1:3。

又因 AF:AB = 2:3,

那麼,△AFE 和 △ABC 的高之比例也是 2:3。

故 △AFE 面積是 △ABC 面積的 \frac{1}{3}\times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}

類似地,可知 △BDF 和 △CED 的面積,也是 △ABC 面積的 \frac{2}{9}

故 △DEF 面積 = 1-3\times \frac{2}{9} = \frac{1}{3} 單位。

亦即 △DEF 和 △ABC 之面積比為 1:3。

一般地,參考下圖:

AF:FB = a, BD:DC = b, CE:EA = c(其中 0 < a,b,c < 1),則

△DEF 和 △ABC 之面積比為 \frac{abc+1}{(a+1)(b+1)(c+1)},同學試試證明一下。

下面是另一道常見題目,順便談談。

參考上圖,已知 △ABC 為等邊的。

D,E,F 分別是在 AB, BC, CA 上的點,其中 AD:DB=BE:EC=CF:FA=2。另外,AE 交 BF 於 G;BF 交 CD 於 H;CD 交 AE 於 I。

求 △GHI 和 △ABC 之面積比。

::::::::::

在看下去之前,同學可先試解題。

::::::::::

如果給小學同學處理,可以輔助線幫手,見下

我們增加了一些「單位三角」(即是和 △GHI 全等的三角形)。「看出」答案嗎?

觀察那個以線段 AI 和 IC 為鄰邊的平行四邊形。它的面積是 4 個「單位三角」,而 △AIC 是該平行四邊形之半,故 △AIC 的面積是 2 個「單位三角」之面積。同理,△ABG 和 △BCH 的面積也是 2 個「單位三角」之面積。亦即,△ABC 的面積是 7 個「單位三角」的面積,故

△GHI 和 △ABC 之面積比是 1:7。

如果 △ABC 不是等邊,如:

結果仍是 1:7 嗎?

同學可先點擊以下連結,感受一下:

http://www.geogebra.org/en/upload/files/johnmayhk/johnmayhk_area_ratio.html

又或粗略想像:某三角形,可經由影射,變成等邊三角,保持了 △GHI 和 △ABC 之面積比。(太不精確的描寫,對不起。)

好了,是時候以中學生的方法證明。

為簡化,以 [XYZ] 表示三角形 XYZ 之面積等。

不難證明 CI:ID=3:4(注一),於是

[AIC]
= \frac{3}{7} [ADC]
= \frac{3}{7}\times \frac{2}{3} [ABC](\because AD:DB=2:3
= \frac{2}{7} [ABC]

同理,得 [BGA] = [CHB] = \frac{2}{7} [ABC]

故,

[GHI]
= [ABC]-3\times \frac{2}{7} [ABC]
= \frac{1}{7} [ABC]

再玩多一些,比如,據聞是「日本寺廟內的幾何題」的其中一道題,見下

參考上圖,等邊三角形 ABC 的邊長是 10,線段 AA’,BB’,CC’ 圍成等邊三角形 A’B’C’。如果 △A’B’C’,△ABB’,△BCC’,△CAA’ 的內切圓半徑都是 r,求 r 的值。(註二)

好玩的還有很多,但不多說了。

(註一)

應該不少方法得 CI:ID=3:4,舉例

連 BI,設 [CIE] = s。
CE:EB=1:2,得 [BEI] = 2s。
類似地,設 [BID] = t,得 [ADI] = 2t。
命 [AIC] = u。
由 2[AEC] = [ABE],知
2(u+s)=2t+t+2s \Rightarrow u=\frac{3}{2}t
亦即
CI:ID=3:4

(註二)

答案:\frac{5(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}

3 則迴響 »

  1. Dear john may; Would you tell me what software you draw those pics with? thx very much

    迴響 由 Theo Iap — 2011/10/02 @ 9:39 下午 | 回覆

  2. 還有個更簡單些的方法,如果將記AF的中點為G,BD的中點為H,CE的中點為I,連接EG,FH,DI,就可以將三角形分成7個部分,其中在邊上的小三角形的面積都是1/9,剛好6個,那麼中間的就是1/3了。

    迴響 由 David Deng — 2011/10/06 @ 3:44 下午 | 回覆


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