Quod Erat Demonstrandum

2011/09/23

second fundamental theorem of calculus

Filed under: HKALE,Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 11:42 上午

教到 second fundamental theorem of calculus:

\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)

(其中 f 在開區間 I 內連續,a\in I 是常數。)

時,同學或有諸如以下的疑惑:

\frac{d}{dx}\int_0^x(x-t)^2dt 是甚麼?

注意,在積分 \int_0^x(x-t)^2dt 中,變數是 t,而 x 對於 t 視為常數,故

\int_0^x(x-t)^2dt
=\int_0^x(x^2-2xt+t^2)dt
=(x^2t-2x(\frac{t^2}{2})+\frac{t^3}{3})_0^x
=x^2(x)-2x(\frac{x^2}{2})+\frac{x^3}{3}
=\frac{x^3}{3}

所以

\frac{d}{dx}\int_0^x(x-t)^2dt=\frac{d}{dx}(\frac{x^3}{3})=x^2

但如果「運用」second fundamental theorem of calculus,視 (x-t)^2f(t),則會出現錯誤:

\frac{d}{dx}\int_0^x(x-t)^2dt=(x-x)^2=0

上法錯在哪裡?

要運用 second fundamental theorem of calculus,當中的 f(t) 是單變數函數(function of single-variable),而 (x-t)^2 是雙變數的。

但同學可能認為,只要視 (x-t)^2t 的函數,即

f(t)=(x-t)^2

情況就如 f(t)=(5-t)^2 一樣,有何不可?

小心,先比較以下兩個積分:

I_1=\int_0^x(5-t)^2dt

I_2=\int_0^x(x-t)^2dt

I_1 的意義,是對於一條固定曲線 y=(5-t)^2 的圖像,尋求下圖所示,藍色部份的面積。

面積和 x 值有關。

I_2 的意義,是對於一條變動的曲線 y=(x-t)^2 的圖像,尋求下圖所示,綠色部份的面積。

面積當然和 x 值有關。

x 值除了影響有顏色部份 x 座標的上界,也影響曲線 y=(5-t)^2 圖像之形狀,見下

姑且說 x 值對於 I_2,比 I_1 多了「一個」影響。這樣,I_1I_2 本質上(?)有所不同。

I_1 這類涉及單變數 integrand 的,才可直接運用 second fundamental theorem of calculus。

當然,我們一定會教學生,運用 second fundamental theorem of calculus 之前,遇到諸如

f(x-t)f(xt)f(\frac{t}{x})f(\frac{t}{x^3}) 的 integrand,

第一步,就是要使它們「單變數化」,即

分別設 u=x-tu=xtu=\frac{t}{x}u=\frac{t}{x^3}

諸如此類。

比如上題,

F(x)=\int_0^x(x-t)^2dt

u=x-t,則 du=-dt,並且

t=0,得 u=x
t=x,得 u=0

F(x)=\int_x^0u^2(-du)=\int_0^xu^2du

可見,integrand 是 f(u)=u^2

那麼,由 second fundamental theorem of calculus,得

F'(x)=\frac{d}{dx}\int_0^xu^2du=x^2

類似地,以為

\frac{d}{dx}\int_0^x\sin(xt)dt=\sin(x(x))(Wrong!!)

也是誤用 second fundamental theorem of calculus 的結果,同學請改之。

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