Quod Erat Demonstrandum

2011/10/01

小心切線

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 9:02 上午
Tags:

一道題:

Find the equation of tangent to the curve

x^3+x^2y-2x^2+xy^2-2xy+x+y^3+y=0 ………. (*)

at (1,0).

機械式地,同學應可得出

(3x^2+2xy-4x+y^2-2y+1)+\frac{dy}{dx}(x^2+2xy-2x+3y^2+1)=0 ………. (#)

代入 (1,0),得

(3+0-4+0-0+1)+\frac{dy}{dx}(1+0-2+0+1)=0

\frac{dy}{dx} at (1,0) 無意義。

注意,這裡得出切線的斜率是「無意義」(\frac{dy}{dx}=\frac{0}{0} so to speak),並非「無限大」。即不要誤以為切線是垂直線。

那麼,原題的答案是甚麼?同學,你怎回答?

讓我們看看 (*),

x^3+x^2y-2x^2+xy^2-2xy+x+y^3+y=0

原來可以重寫為

((x-1)^2+y^2)(x+y)=0

(看,這是「立法原意」!)

即 (*),可以等價於

(x-1)^2+y^2=0x+y=0

方程 (x-1)^2+y^2=0,代表 (1,0) 這個孤立的點,它屬於 (*) 。在這個孤立的點上,我們不能定義切線。所以原題的答案,一字記之曰 undefined。

把 (*) 所代表的圖像畫出,它是直線(x+y=0),加上一個孤立的點 (1,0)。不難想像,對於方程 (*),我們有

\frac{dy}{dx}=-1 for (x,y)\ne (1,0)

(同學,你能否從 (#),直接得出上述命題?)

除了考慮孤立點,我們也可考慮兩曲線之交點。

比如 y=x^2y=x 代表的曲線,分別交於 (0,0) 及 (1,1),那麼,問 (y-x^2)(y-x)=x^3-x^2y-xy+y^2=0 於 (0,0) 或 (1,1) 處之切線,皆無定義,小心。

發表迴響 »

仍無迴響。

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在WordPress.com寫網誌.

%d 位部落客按了讚: