Quod Erat Demonstrandum

2011/10/06

被 6 整除

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 2:38 下午
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無聊出題。在課程內有

\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}

\displaystyle \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

把它們「組合」,比如考慮

\displaystyle \sum_{k=1}^n(a+kb)(c+kd)

易得

\displaystyle \sum_{k=1}^n(a+kb)(c+kd)=\frac{1}{6}(6acn+3(ad+bc)n(n+1)+bdn(n+1)(2n+1))

如果 a,b,c,d 皆為整數,上式的 L.H.S. 亦是整數,故得:

對任何正整數 n6acn+3(ad+bc)n(n+1)+bdn(n+1)(2n+1) 可被 6 整除。

代入 a=0,b=1,c=1,d=1,得 2n^3+6n^2+4n 可被 6 整除。
代入 a=0,b=1,c=1,d=2,得 4n^3+9n^2+5n 可被 6 整除。
代入 a=1,b=1,c=1,d=1,得 2n^3+9n^2+13n 可被 6 整除。
代入 a=1,b=1,c=1,d=2,得 4n^3+15n^2+17n 可被 6 整除。
代入 a=1,b=1,c=2,d=1,得 2n^3+12n^2+22n 可被 6 整除。

諸如此類。

同學,有興趣用 mathematical induction 證明一下上述的 5 個命題嗎?

5 則迴響 »

  1. 6acn; 3(ad+bc)n(n+1); bdn(n+1)(n+2); 每個項都是可被6整除,所以組合也是可以被6整除。不過用這些組合可弄出很多的證明組合,練習歸納法就不用煩沒有題目了。

    迴響 由 David Deng — 2011/10/06 @ 3:12 下午 | 回覆

    • 謝謝 David!

      對,易知

      6n+3n(n+1)+n(n+1)(2n+1)

      能被 6 整除,隨便配上整數 x,y,z

      6xn+3yn(n+1)+zn(n+1)(2n+1)

      亦然。

      現在反而想研究一下形如

      a^n + bn

      之類整除性之題目之創作。

      迴響 由 johnmayhk — 2011/10/06 @ 5:29 下午 | 回覆

      • 我對 a^n +bn 的形都感興趣,practice paper 又出了一題
        但我自己真的沒辦法作到類似的。
        反而 a^n +b^n 這類用小小modular arithmetic 就能創作出大量的題。

        迴響 由 路人甲 — 2012/02/16 @ 3:29 下午

      • Start with binomial theorem
        (1+a)^n=1+na+a^2(\cdots)
        Put a=2
        3^n-2n-1 is divisible 4.

        By considering one more term in the binomial expansion,
        3^n-2n^2-1 is divisible 8.

        迴響 由 mm100100 — 2012/05/18 @ 2:32 上午

  2. mm100100, thx!

    迴響 由 johnmayhk — 2012/05/18 @ 7:51 上午 | 回覆


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