Quod Erat Demonstrandum

2011/10/10

錯在哪裡之 0 = 1

Filed under: HKALE,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:29 上午
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Old stuff…

\int \frac{\cos \theta d\theta}{\sin \theta}

=\int \frac{d\sin \theta}{\sin \theta}

= \frac{\sin \theta}{\sin \theta} - \int \sin \theta d(\frac{1}{\sin \theta}) (integration by parts)

= 1 - \int \sin \theta (-\frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta})d\theta

= 1 + \int \frac{\cos \theta d\theta}{\sin \theta}

Thus,

0 = 1.

3 則迴響 »

  1. 這是不定積分。

    迴響 由 Yee — 2011/10/12 @ 12:47 下午 | 回覆

  2. 其實,原因是不是在於intergration by part 是不適用於這個intergral.
    因爲個function(sinx/sinx) 是個constant function, 當微分時,是等於0,所以無法用微分的乘法定理,來推而廣之地用於intergration by part.
    若有所錯誤,請包涵。

    迴響 由 jaychan — 2011/10/14 @ 11:13 下午 | 回覆

    • Jaychan,

      謝謝嘗試!

      上述步驟似乎沒有涉及把 \frac{\sin x}{\sin x} 求導。

      問題出現在由

      \int \frac{\cos \theta d\theta}{\sin \theta}=1+\int \frac{\cos \theta d\theta}{\sin \theta}

      過渡到

      0=1

      這步。

      F(x)\frac{\cos \theta}{\sin \theta} 的原函數(primitive),即

      \int \frac{\cos \theta d\theta}{\sin \theta}=F(x)+C

      其中 C 是任意常數。就是那個任意常數,使 \int \frac{\cos \theta d\theta}{\sin \theta} 不是一個單一的函數(甚至不是單一一個量),而是有無限個函數 F(x)+C,是一個集合(set),或曰是一個函數族(family of functions)。

      抓緊這概念,重寫

      \int \frac{\cos \theta d\theta}{\sin \theta}=1+\frac{\cos \theta d\theta}{\sin \theta}

      F(x)+C=1+F(x)+C

      這是完全沒有問題的,

      F(x) 約掉,得

      C=1+C

      也沒有問題,這個相等是指數字集合的相等,重申,C 並非數字,而是數字集,具體地,它其實是實數集 set of real numbers(表之曰 \mathbb{R})。

      1+C 就是把 C 內的每個元(element)也加上 1,效果與 C 無異,即 1+C=C(具體地,它是指 1+\mathbb{R}=\mathbb{R})。

      但我們絕不能由集的相等"1+C=C",推出數字的相等"1=0"來。

      迴響 由 johnmayhk — 2011/10/15 @ 9:45 下午 | 回覆


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