Quod Erat Demonstrandum

2011/10/12

無聊改卷後

Filed under: NSS — johnmayhk @ 2:40 下午

同事擬了一份中五 Core Mathematics 測驗題目,趁改卷完成略談一二。

其中一題:

Solve 2(x^6+\frac{1}{x^6})-5(x^2+\frac{1}{x^2})=21 for real x.

(Answer: \pm \frac{1\pm \sqrt{5}}{2})

當然有同學取滿分,但大多數學生的表現卻差強人意。

中五學生「應該」懂得

2^3

=2\times 2\times 2

但,我們可以確保他們寫出

(x^2+\frac{1}{x^2})^3

\equiv (x^2+\frac{1}{x^2})(x^2+\frac{1}{x^2})(x^2+\frac{1}{x^2})

嗎?

不能,特別在中學數學的「荼毒」下,太多同學認為:

(x^2+\frac{1}{x^2})^3

=(x^2+\frac{1}{x^2})(x^4-x^2(\frac{1}{x^2})+\frac{1}{x^4}) ………. (1)

=x^6+\frac{1}{x^6} ………. (2)

錯!

由 (1) 到 (2) 是正確的,似乎反映了同學學到了

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

之類,可惜就是錯了起始一步,「小學生的道理」:a^3=aaa

致使同學錯誤地展開(expand) (x^2+\frac{1}{x^2})^3

當然,處理原題是無須考慮展開 (x^2+\frac{1}{x^2})^3,但這樣問一問學生,也測試了一些缺失。

另外,承上題,同事要學生的解,表達為 \pm\frac{a\pm \sqrt{b}}{c} 其中 a,b,c 是有理數。

在建議答案見:

x^2+\frac{1}{x^2}=3

\Rightarrow x^4-3x^2+1=0

\Rightarrow x^2=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{5}}{4}=\frac{(1\pm\sqrt{5})^2}{4}

\Rightarrow x=\pm\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}

我的中學年代,大部份學生對諸如計算 \sqrt{3+\sqrt{5}}(得出答案 \frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{2}})可說是很純熟,但相信對大部份現在的學生,此法已頗陌生了。

幸好,我班有同學以以下方法,避開上述運算:

x^2+\frac{1}{x^2}=3

\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^2=5

\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm\sqrt{5}

\Rightarrow x^2\pm\sqrt{5}x+1=0

\Rightarrow x=\pm\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}

可見,除了「死記」二次公式(quadratic formula)外,配方法(completing the square)之重要,也不容忽略。

同一份卷的另一道題,也想在此提說:

Solve

-12\sin\theta\cos\theta+9\cos^2\theta+2\sin\theta-4\cos\theta+3-2\sqrt{5}=15 such that (\sin\theta-2\cos\theta)^2 is rational.

(Answer: 153.43 degree)

用的技巧是把 equation in \theta 變為 quadratic equation in \sin\theta-2\cos\theta 從而解之。

在建議答案中出現一步:

3x^2+2x-2\sqrt{5}-15=0

\Rightarrow (x-\sqrt{5})(3x+2+3\sqrt{5})=0

\Rightarrow x=\sqrt{5} or x=\frac{-2-3\sqrt{5}}{3} (rejected since x^2 is rational)

相信大部份學生得到

3x^2+2x-2\sqrt{5}-15=0

後,如無意外他們都不會把 L.H.S. 因式分解(over \mathbb{R}),而是用計算機。且是用它內置的公式解出 x。部份學生知道要檢視 x^2 是否有理數,但不知怎的,用公式得出的根不能直接被平方(?),故不能繼續解出 \theta

最後,卷中還有一道比較簡單的題:

Solve (\log x)^{\log x}=x.

(當然要求 x 是實數。)

建議答案不接納 x=1,相信 Yee 君等定必反對… …

早前,我也擬了有關解方程的測驗卷,順便廢談兩句。

Solve \sqrt{x^2-4x+4}=-(x-2) (2 marks)

應該是概念較運算重的題,同學可先試試。

答案是:x \le 2

另一些安排為 bonus question,給 1 分,見:

Find a rational number x such that

\sqrt[3]{1+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{x}}=\sqrt[3]{5}.

涉及運算不太煩複,同學試試玩!

不多說太多無聊東西了,繼續為出師未捷面對退修潮內憂外患的 Mathematics (Module 2) 一面默哀,一面沉著應戰。

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