Quod Erat Demonstrandum

2011/10/14

旋轉體體積

Filed under: HKALE,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 7:47 上午

星期三走進中七班房,同學正透過眾人趨之若鶩的高科技,聆聽著曾特首宣讀他任內最後一份施政報告。正如數學堂的重點是教授英語(esp. during MOI inspection),純數堂的重點當然是了解時事。同學如此專注將來命運,「講數」打擾他們委實有點不好意思。碰巧當時談 volume of revolution,對他們來說實太輕易,所以我很「吹水」地提問:

考慮橢圓 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(其中 a > 0, b> 0)繞 x-axis 旋轉 360 度,得的旋轉體 Ellipsoid 的體積 V_x 及繞 y-axis 旋轉 360 度,而得的旋轉體體積 V_y… …

說話未完同學即說:「唔係一樣咩?」正!中下懷,問:「何解一樣?」

再曰:「同學嘗試不用數學,說服別人:何解兩者體積是一樣(或不一樣)。」

當然同學多是期望答案之類,又或自己計一計(但我話:不用數學 wor)。

都是胡里胡塗地,我提出:

想像一下橢圓繞 x-axis 旋轉,某人沿下圖「眼睛」方向看過去,他看到甚麼?

答:「圓形。」

不錯(當然用諸如 wolfram 的 cdf files 做「假想實驗」更好),同學的空間感OK。

再想像一下,橢圓繞 y-axis 旋轉,某人又看到甚麼?

答:「橢圓形。」

對!如此,繞 x-axis 和 y-axis 產生出來的立體,形狀已有不同。

當然,形狀不同,不足以說明體積 V_xV_y 不同。於是我靈光一閃,以極端例子說明,考慮一個很扁平的橢圓形,見:

如它繞 x-axis 旋轉,產生出來的東西是甚麼形狀?似香腸嗎?(眾點頭)

但如果它繞 y-axis 旋轉:

它產生出來的東西是甚麼形狀?似薄餅嗎?(眾點頭)

你說那薄餅比香腸大得多嗎?

眾:「又係 wor。」

好了,又是唱好數學的時間:「當然用數學語言來解釋才是最精確的,直接了當把體積求出,便知 V_xV_y 有別,見

V_x=\pi\int_{-a}^{a}b^2(1-\frac{x^2}{a^2})dx=\frac{4\pi}{3}ab^2

V_y=\pi\int_{-b}^{b}a^2(1-\frac{y^2}{b^2})dy=\frac{4\pi}{3}ba^2

無聊完畢。

2 則迴響 »

  1. 有個問題,點解係旋轉360 度,而唔係180度?

    迴響 由 KIT — 2011/12/20 @ 2:51 下午 | 回覆

    • 是,對稱圖(以對稱軸為轉軸)轉 180 度已可生成「完整的」旋轉體。謝謝提醒。

      當然,轉諸如 360 度,540 度等等也無損該旋轉體之體積。

      迴響 由 johnmayhk — 2011/12/21 @ 3:59 下午 | 回覆


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