Quod Erat Demonstrandum

2011/10/18

Chain rule

Filed under: HKALE,NSS,Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 4:29 上午
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早前,中七的 Thomas 問:「Chain rule 個 proof 錯咩?有冇 counter-example?」

先把教科書的東西記下:

以下是記在教科書內 Chain rule 的證明:

先強調,雖然上述證明有瑕疵,但不代表 Chain rule 是錯

瑕疵在於:

\Delta u=0,則 \frac{\Delta y}{\Delta u} 無意義。

\Delta u 可以等於零嗎?

我們先想想,在

\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

中,\Delta x 是接近零,而不考慮等於零。

但考慮

\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}

時,在 \Delta x 接近 0 的過程中,不錯,\Delta x 非零,但這不一定能保證 \Delta u 非零。

舉例:設

u=g(x)= \left \{ \begin{array}{ll} x^2\sin \frac{1}{x} & \mbox{for  } x\ne 0\\ 0 & \mbox{for  } x=0\end{array}\right.

考慮 x(值)接近零,則

\Delta x=x-0=x

\Delta u=g(x)-g(0)=x^2\sin \frac{1}{x}

那麼,無論 x(即 \Delta x)多接近零,總會出現某些 x 使 x^2\sin \frac{1}{x}(即 \Delta u)等於零;

理由是,取足夠大的 n\in \mathbb{N},命 x=\frac{1}{n\pi},則 x 要多接近零也可,但 \Delta u=g(x)=g(\frac{1}{n\pi})=0

這例子清楚說明,無論 \Delta x 多接近零,總存在一些位置,使 \Delta u=0,亦即使 \frac{\Delta y}{\Delta u} 無意義。

但注意,這個 u=g(x) 是滿足 Chain rule 的條件,即 \frac{du}{dx}(在 x=0 之處)存在。(修 Pure Mathematics 的同學可試證之。)那麼,若我們考慮 y=f(u) 也滿足 Chain rule 的條件,如何證明 \frac{dy}{dx}=(\frac{dy}{du})(\frac{du}{dx}) 呢?

其實只要「微調」一下,便可彌補瑕疵,「優化」證明。(中港毒了… …)

y=f(u)
u=g(x)

讓我考慮 Chain rule 在某點 x=a(say)的情況。

即 \frac{du}{dx}|_{x=a} 及 \frac{dy}{du}|_{u=g(a)} 皆存在。欲證

\frac{dy}{dx}|_{x=a}=(\frac{dy}{du}|_{u=g(a)})(\frac{du}{dx}|_{x=a})

證明如下

\frac{dy}{dx}|_{x=a}

=\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(g(a+\Delta x))-f(g(a))}{\Delta x}

之後,正如之前談過,我們不能直接寫

=\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(g(a+\Delta x))-f(g(a))}{g(a+\Delta x)-g(a)}\cdot \frac{g(a+\Delta x)-g(a)}{\Delta x}

於是,我們要製作另一個函數,取代這個分母可能零的「麻煩」東西 \frac{f(g(a+\Delta x))-f(g(a))}{g(a+\Delta x)-g(a)}

考慮

F(\Delta x)= \left \{ \begin{array}{ll} \frac{f(g(a+\Delta x))-f(g(a))}{g(a+\Delta x)-g(a)} & \mbox{for  } \Delta u=g(a+\Delta x)-g(a)\ne 0\\ f'(g(a)) & \mbox{for  } \Delta u=0\end{array}\right.

(注:f'(g(a))=\frac{dy}{du}|_{u=g(a)} 是存在的。)

那麼,無論 \Delta u 是零與否,恆有

f(g(a+\Delta x))-f(g(a))=F(\Delta x)(g(a+\Delta x)-g(a))

(為何?)故此

\frac{dy}{dx}|_{x=a}

=\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(g(a+\Delta x))-f(g(a))}{\Delta x}

=\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}F(\Delta x)\cdot \frac{g(a+\Delta x)-g(a)}{\Delta x} ………. (*)

F(\Delta x) 的定義,\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}F(\Delta x)=f'(g(a)) (註 1),存在。且 \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{g(a+\Delta x)-g(a)}{\Delta x}=\frac{du}{dx}|_{x=a} 也存在。故 (*) 可拆為

=\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}F(\Delta x)\cdot \displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{g(a+\Delta x)-g(a)}{\Delta x}

=f'(g(a))(\frac{du}{dx}|_{x=a})

=(\frac{dy}{du}|_{u=g(a)})(\frac{du}{dx}|_{x=a})

Q.E.D.

註 1:用不精確的語言表達,

\Delta x\rightarrow 0,由 u=g(x) (在 x=a 處)的連續性,知 \Delta u\rightarrow 0

\Delta u\rightarrow 0\Delta u\ne 0,我們有 |F(\Delta x)-f'(g(a))|=|\frac{f(g(a)+\Delta u)-f(g(a))}{\Delta u}-f'(g(a))|\rightarrow 0(因 f(u)u=g(a) 處可導);

\Delta u=0 者,|F(\Delta x)-f'(g(a))|=|f'(g(a))-f'(g(a))|=0

故「總括而言」,當 \Delta x\rightarrow 0,我們有 |F(\Delta x)-f'(g(a))|\rightarrow 0

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