Quod Erat Demonstrandum

2011/11/26

利用複數尋寶

Filed under: Fun,Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:51 下午
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此刻,純數還欠複數(complex numbers)這個課題未教完。當完成後,課題中精采之處,將長埋「新」高中之墓塚。

同事問:複數有沒有有趣的幾何應用?很多,這裡舉一個經典例子。

海盜留下藏寶位置之提示:

島上有一個絞刑架,一棵橡樹及一棵松樹。

由絞刑架出發前往橡樹,數算步數。到橡樹處,右轉90度行相同步數,在停下的位置作記號。

再由絞刑架出發前往松樹,數算步數。到松樹處,左轉90度行相同步數,在停下的位置作另一記號。

兩個記號之中點,就是寶藏位置,見下

A,B 分別代表橡樹及松樹,C 為絞刑架。D,E 是記號。F 就是寶藏位置。

寒來暑往,絞刑架早已消失,那麼寶藏位置如何確定?

利用複數,輕易得出。

a,b,c,d,e,f 代表點 A,B,C,D,E,F 的複數。

特別地,取 A(1,0), B(-1,0),即 a=1,b=-1

d=(a-c)(-i)+a=(-1+c)i+1
e=(b-c)i+b=(-1-c)i-1

f=\frac{1}{2}(d+e)=\frac{1}{2}((-1+c)i+1+(-1-c)i-1)=-i

即寶藏在 (0,-1),和 C 的位置無關。也確定一下吧:

http://www.geogebra.org/en/upload/files/johnmayhk/johnmayhk_complex_fun.html

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