Quod Erat Demonstrandum

2011/12/21

簡單算數

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 6:16 上午
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現在所有高中生也接觸「簡單算數」這課題,懂得應用二項式係數(binomial coefficient)。一些涉及二項式係數的關係,比如

C^n_r=C^n_{n-r}

當然可以 C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!} 開始來推導出來。

但透過「算數」的概念,或許推導得更自然。

以上式為例,從 n 個人選出 r 個人,共 C^n_r 種選法。但,比方說,「從 n 個人選出 r 個人」參加比賽,相當於「從 n 個人選出 n-r 個人」後,沒被選上的便可以參加比賽。故「從 n 個人選出 r 個人」的選法數目,等於「從 n 個人選出 n-r 個人」的選法數目,亦即

C^n_r=C^n_{n-r}

又例如,要證明

C^n_2=1+2+3+\dots+(n-1)

當然可以 C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!} 開始來推導出來,輕易。

但也可以考慮以下問題,圖中有多少個三角形?

要生成三角形,只要在 7 條斜邊中選出 2 條便可,共 C^7_2 種方法。

但我們也可算數如下:

有 6 個所謂小三角形;
有 5 個由 2 個小三角形組成的三角形;
有 4 個由 3 個小三角形組成的三角形;
有 3 個由 4 個小三角形組成的三角形;
有 2 個由 5 個小三角形組成的三角形;
有 1 個由 6 個小三角形組成的三角形;

故共有 6+5+4+3+2+1 個三角形,亦即

C^7_2=1+2+3+4+5+6

一般地,有

C^n_2=1+2+3+\dots+(n-1)

應還有不少例子,有機會再談。

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