Quod Erat Demonstrandum

2012/01/30

由 3 出發

Filed under: Fun — johnmayhk @ 3:52 下午

由 3 出發,建立「有趣」關係。

e.g. 1

3

=\sqrt{1+8}

=\sqrt{1+2\times 4}

=\sqrt{1+2\sqrt{16}} (more…)

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2012/01/29

[TED] Robert Lang全新型態的摺紙

Filed under: Fun — johnmayhk @ 7:53 下午

TED Filmed Feb 2008

2012/01/28

標誌裡的數學

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 7:54 下午


(more…)

2012/01/20

arctan,pi,complex numbers

Filed under: mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:02 下午
Tags:

式子

\pi=\tan^{-1}1+\tan^{-1}2+\tan^{-1}3

美麗嗎?我比較多見的形式是

\tan^{-1}(\frac{1}{2})+\tan^{-1}(\frac{1}{3})=\frac{\pi}{4}

(易知 \tan^{-1}(\frac{1}{n})+\tan^{-1}(n)=\frac{\pi}{2},故上述兩式等價。)

以圖來證明上式,可以考慮 (more…)

2012/01/18

[FW] NOVA scienceNOW | Twin Prime Conjecture | PBS

Filed under: Fun — johnmayhk @ 9:51 下午
Tags:

[News] BSD猜想有望破解 華數學家轟動學界

Filed under: Report,University Mathematics — johnmayhk @ 11:06 上午

BSD猜想有望破解 華數學家轟動學界 (more…)

2012/01/17

Core Math 某題-counting

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:50 下午

10 人(當中包括 A 和 B)排 10 人隊,若 A 不能排第一,B 不能排第尾,問排法多少?

答:

情況一:B 排第一(這樣也自然滿足了「A 不能排第一且 B 不能排第尾」的情況)

那麼,餘下 9 人排在餘下的 9 人隊,共 9! 種排法。

情況二:B 不是排第一

首先,B 不是排第一,而A也不能排第一,故排第一者只有 10-2=8 種可能情況。

另外,B 不能排第尾,故排第尾者只有 9-1=8 種情況。

餘下的 8 人,排在之間的 8 個位置,共 8! 種情況。

所以情況二共有 8\times 8\times 8! 種情況。

故滿足「A 不能排第一且 B 不能排第尾」的排法共有 9!+8\times 8\times 8!=8!(9+8^2)=73\times 8! 種。

但同學建議另一個「解法」: (more…)

2012/01/15

D數字

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:04 上午

3'=?

按照一般求導方式,3'=\frac{d(3)}{dx},答案當然是零。

但在數論中,數字「求導」可以有另一種定義。

對任何自然數 a,b

1. 若 a 是質數,則 a'=1
2. (ab)'=ab'+a'b

於是 (more…)

2012/01/14

續 Core Math 某題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:32 上午

I’m asked to generalize the solution of the previous post, okay, do it.

Let n be a positive even integer.

Set 1: {a_1,a_2,\dots,a_{n/2},a_{n/2+1},\dots,a_n}
Set 2: {a_1,a_2,\dots,a_{n/2},0,a_{n/2+1},\dots,a_n}

where a_1 < a_2 < \dots < a_{n/2} < 0 < a_{n/2+1} < \dots < a_n.

Let \sigma_1, \sigma_2 be the standard deviations of Set 1 and Set 2 respectively.

Show that \sigma_1 > \sigma_2.

Solution (by ugly brute force) (more…)

2012/01/12

Core Math 某題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 10:25 下午

Set 1: {a,b,d,e}
Set 2: {a,b,c,d,e}

(其中 a < b < c < d < e

\sigma_1, \sigma_2 分別是 Set 1,Set 2 的標準差(standard deviation),即

\sigma_1^2=\frac{a^2+b^2+d^2+e^2}{4}-(\frac{a+b+d+e}{4})^2

\sigma_2^2=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2}{5}-(\frac{a+b+c+d+e}{5})^2

\sigma_1^2 > \sigma_2^2

結論頗直觀 (more…)

2012/01/11

[FW] When learning maths, abstract symbols work better than real-world examples

Filed under: mathematics,Report — johnmayhk @ 10:40 上午

http://blogs.discovermagazine.com/notrocketscience/2008/04/24/when-learning-maths-abstract-symbols-work-better-than-real-world-examples/

2012/01/09

[YouTube] Dangerous Knowledge (Philosophy, Physics, Mathematics) -BBC

Filed under: Fun,Report — johnmayhk @ 4:00 下午

2012/01/07

某題-級數

Filed under: Fun,HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:04 上午

以下是數列 {a_n}

1 , 12 , 123 , 1234 , … , 12345678910 , 1234567891011 , …

以下是數列 {b_n}(把 a_n「倒寫」)

1 , 21 , 321 , 4321 , … , 10987654321 , 1110987654321 , …

以下是數列 {\frac{a_n}{b_n}},即

1,\frac{12}{21},\frac{123}{321},\frac{1234}{4321},\dots

問:把上述數列求和 (more…)

2012/01/06

變形金剛原型?

Filed under: Fun,Report — johnmayhk @ 7:38 上午

摺紙似乎是這幾年中學數學的時興題目,這裡介紹另類摺「紙」:

參考"Shifty Science: Programmable Matter Takes Shape with Self-Folding Origami Sheets"

http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=computational-origami-robot

(OT) Old stupid jokes…

Who is transformer’s sister?
Tran (more…)

2012/01/05

斐波那契數與二項係數

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 9:51 上午

除了二項式定理(binomial theorem)

(a+b)^n=\displaystyle\sum_{r=0}^nC^n_ra^{(n-r)}b^{r}

和萊布尼茲微分法則(Leibniz’s rule)

(fg)^{(n)}=\displaystyle\sum_{r=0}^nC^n_rf^{(n-r)}g^{(r)}

斐波那契數 (more…)

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