Quod Erat Demonstrandum

2012/01/04

某題-多項式

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:08 上午

引理

考慮多項式 p(x) ,如果

p(x)=p(x-1) for all x \in \mathbb{R}

則 p(x) 其實是常數。

如何證明?

問:哪常數是甚麼?

答:如果 p(x) 真的是常數,則代入任意 x,也可得出同一個數,比如可代 x=0,則所謂的常數是 p(0)

於是我們嘗試證明:

p(x)=p(0) for all x \in \mathbb{R}

因為

p(x)=p(x-1) for all x \in \mathbb{R}

故,對於任何正整數 n,恆有

p(n)=p(n-1)=p(n-2)=\dots =p(0)

所以,多項式方程

p(x)-p(0)=0

有無限個根(roots)(起碼,所有正整數都是根),於是

p(x)-p(0)\equiv 0

亦即 p(x)\equiv p(0),即 p(x) 是常數也。

有了上述結果,我們可處理下題:

考慮多項式 q(x) ,如果

xq(x-1)=(x-3)q(x) for all x \in \mathbb{R}

證明

q(x)\equiv Cx(x-1)(x-2).

其中 C 是常數。

首先,由

xq(x-1)=(x-3)q(x) for all x \in \mathbb{R}

分別代入 x=0,1,2,易知 q(0)=q(1)=q(2)=0,亦即

q(x)=p(x)x(x-1)(x-2)

其中 p(x) 是多項式。

現在的目標是證明 p(x) 其實是常數。

再運用題意,

xq(x-1)=(x-3)q(x) for all x \in \mathbb{R}

x(x-1)(x-2)(x-3)p(x-1) \equiv (x-3)x(x-1)(x-2)p(x)

p(x-1) \equiv p(x)

由上述引理,知 p(x) 真的是常數,證畢。

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