Quod Erat Demonstrandum

2012/01/05

斐波那契數與二項係數

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 9:51 上午

除了二項式定理(binomial theorem)

(a+b)^n=\displaystyle\sum_{r=0}^nC^n_ra^{(n-r)}b^{r}

和萊布尼茲微分法則(Leibniz’s rule)

(fg)^{(n)}=\displaystyle\sum_{r=0}^nC^n_rf^{(n-r)}g^{(r)}

斐波那契數 f_n,即 f_0=f_1=1f_n=f_{n-1}+f_{n-2} (n=2,3,4,\dots) 者,也可「生產」二項係數。

觀察

f_2
=f_0+f_1

f_4
=f_2+f_3
=(f_0+f_1)+(f_1+f_2)
=f_0+2f_1+f_2

f_6
=f_4+f_5
=(f_2+f_3)+(f_3+f_4)
=f_2+2f_3+f_4
=(f_0+f_1)+2(f_1+f_2)+(f_2+f_3)
=f_0+3f_1+3f_2+f_3

f_8
=f_6+f_7
=(f_4+f_5)+(f_5+f_6)
=f_4+2f_5+f_6
=(f_2+f_3)+2(f_3+f_4)+(f_4+f_5)
=f_2+3f_3+3f_4+f_5
=(f_0+f_1)+3(f_1+f_2)+3(f_2+f_3)+(f_3+f_4)
=f_0+4f_1+6f_2+4f_3+f_4

\dots

可歸納出以下結果:

f_{2n}=\displaystyle\sum_{r=2m}^{n+m}C^{n-m}_{r-2m}f_r

其中 m 是不大於 n 的非負整數。

特別地,當 m=0,得

f_{2n}=\displaystyle\sum_{r=0}^nC^n_rf_r

其實,我只是從 f_2,f_4,f_6,f_8 等歸納出結果,並非證明。同學,可幫我證明一下嗎?


(上圖也顯示了二項係數和費波那契數的一個美麗關係。)

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