Quod Erat Demonstrandum

2012/01/15

D數字

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:04 上午

3'=?

按照一般求導方式,3'=\frac{d(3)}{dx},答案當然是零。

但在數論中,數字「求導」可以有另一種定義。

對任何自然數 a,b

1. 若 a 是質數,則 a'=1
2. (ab)'=ab'+a'b

於是,基於上述定義,我們有

3'=1

1'=(1 \times 1)'=1(1')+(1')(1)=2(1') \Rightarrow 1'=0

若把定義擴充到零,由定義 2,0' 也要定義為 0。

對質數 p

(p^2)'=pp'+p'p=2pp'=2p

(p^3)'=(p^2)p'+(p^2)'p=(p^2)+2pp=3p^2

(p^4)'=(p^3)p'+(p^3)'p=(p^3)+3p^2p=4p^3

Power rule (p^n)'=np^{n-1} 出現了!

e.g. (11^{2012})'=2012(11^{2011})

想多看一些,請往:

http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL6/Ufnarovski/ufnarovski.pdf

31 則迴響 »

  1. Interesting, cannot imagine that it can be related to the Goldbach conjecture.
    Is this topic ‘abuse’ the term ‘derivative’?

    迴響 由 Justin — 2012/01/15 @ 5:55 下午 | 回覆

    • Justin,是呀,對數學符號不能望文生義,內容才是重點。暫未看如斯定義和 Goldbach 猜想的聯繫,應該也很有趣。很久前也看過一種很特別的「微積分」定義,希望有時間介紹一下,不過這個年假將是最忙的了,「介紹」恐怕又是空頭支票… …

      迴響 由 johnmayhk — 2012/01/19 @ 4:51 下午 | 回覆

  2. :O 真系估唔到… 平時上堂淨系知道 D constant = 0…
    上維基都無。。。

    迴響 由 andy wong sum — 2012/01/15 @ 10:31 下午 | 回覆

  3. 一般而言,只有定義函數的微分,
    並沒有數字的微分。
    把數字當作常數函數才能微分。
    至於特殊的定義,
    就看它有什麼用處了。

    迴響 由 Yee — 2012/01/18 @ 7:07 下午 | 回覆

    • I’m pretty sure that you are wrong. Derivations show up in many places and it’s just another common structure. There’s no reason to think about the case of functions only.

      迴響 由 Soarer — 2012/01/21 @ 4:02 下午 | 回覆

      • In addition, we can treat derivative as a linear operator on a space. Correct me if there is any error.

        迴響 由 Justin — 2012/01/22 @ 1:08 上午

  4. 我到大學(非數學系)還沒學過數字的微分。
    甚至沒聽過。
    至於數學系的會不會讀到我就不清楚了。

    迴響 由 Yee — 2012/01/30 @ 8:33 下午 | 回覆

    • 正常

      台灣的教育就是如此 教你用的到的就好

      只是我也挺疑惑 人家就直接打出了一整篇完整的 關於"數字的微分"的理論來了

      何來"一般而言並沒有數字的微分"之見解?

      就像是拿了個實物到眼前卻說"一般而言 這東西不存在"一般 說不出來的奇怪 挺逗的

      迴響 由 sonic — 2012/02/02 @ 12:37 下午 | 回覆

  5. 數學上有許多領域有其特別的定義。
    有數字微分並不足為奇。
    但這與一般微分的定義並不同。
    當講到微分而不註明是那種數字的微分時,
    用的就是一般的定義。

    迴響 由 Yee — 2012/02/06 @ 12:36 下午 | 回覆

  6. 只教用得到的就好,
    這是必然的。
    數學的領域很廣,
    特別的定義也很多,
    即使是數學系教授也不敢聲稱學過所有的定義。

    迴響 由 Yee — 2012/02/06 @ 5:22 下午 | 回覆

    • 但是不用是數學系的教授也應該會知道不要冒然的去對自己不了解的事情妄下結論

      何況文章內才剛講完數字的微分 轉頭馬上就評論說一般而言數字的微分不存在

      就好像是一個普通人完全沒聽過物理上的弱力(而且就跟數字的微分一樣 生活上完全不會感覺到也不會學到)

      然後看完一篇介紹四種基本力的文章以後 說一般而言弱力不存在一樣


      不過其實您可以不用認真 這可能只是文字表達上的誤解而已

      我大概看的懂您想表達什麼 只是如果嚴格解讀起來我覺得文意挺矛盾的而已
      (看完介紹某個東西的文章發表的結論是這東西一般來說不存在)
      我對文字比較鑽牛角尖一點 可能您的發言比較奔放 不願意花多餘時間去修飾吧!

      迴響 由 sonic — 2012/02/07 @ 2:06 上午 | 回覆

  7. 我說數字微分不是一般的定義,
    而是特殊的定義。
    文中提到一般求導方式,3’=0,這是有爭議的。
    我是針對一般定義,不是針對特殊的定義。

    迴響 由 Yee — 2012/02/07 @ 9:12 上午 | 回覆

    • 當未閱讀到引文

      http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL6/Ufnarovski/ufnarovski.pdf

      請問你會說出諸如

      「一般求導方式,3′=0,這是有爭議的。」

      嗎?

      Anyway,關於表達用語的爭論相信不是重點。

      這網誌的重點是向學生介紹多一些數學,讓他們看到數學世界其實真的很大很大的。

      迴響 由 johnmayhk — 2012/02/07 @ 9:33 上午 | 回覆

      • 這是特別的定義,不是一般的定義。

        迴響 由 Yee — 2012/02/07 @ 3:28 下午

  8. 3’=0用的不是特殊的微分定義,
    而是一般的定義。
    而一般微分定義是針對函數,
    並沒有針對數字。
    必須把數字當作常數函數3’=0才會成立。
    稱它是對數字微分並不合宜。

    迴響 由 Yee — 2012/02/07 @ 3:39 下午 | 回覆

    • 完全看不出來這有什麼不合宜之處
      就算不說明 一般知道微分或求導是什麼的人都完全都看得出來板主想講的就是對常數函數做微分
      簡單的說那就是個引子 帶出接下來要講的數字微分
      看的出來這位大大抓到了開頭板主的語句上敘述不詳的部分 想要賣弄一下知識
      結果似乎不怎麼看內文 說一個確實已經存在的東西一般而言是不存在的
      而且我並不怎麼認同sonic大的說法 他說這可能是語句傳達的誤解
      但是我認為 特殊的 和 一般而言不存在 這兩者根本就差的太多
      這跟板主沒講清楚是對函數做微分是完全不同程度的錯誤
      這一連串跟主題無關的爭辯根本就是一開始有人自己用詞錯誤太離譜造成
      後面試圖把問題導向一般 跟 特殊 我覺得根本就是不同話題
      而且 (一般求導方式,3′=0,這是有爭議的。)這句話令我理解不能
      扣掉這篇文介紹的特殊微分 一般的求導當然只能對函數做
      那這裡面的3除了是個常數以外一般人還能怎麼理解?
      函數裡的常數項做微分的動作不等於0還能等於什麼?
      嘛 也有可能是這位大大想表達的東西我程度太糟糕看不懂啦

      迴響 由 searchtoherehehe — 2012/02/08 @ 1:42 上午 | 回覆

    • Do you understand the word ‘abuse’?
      The content just abuse the notation that we use in derivative to make things look similar to what we have learnt. It is not really doing the ‘differentiation’ in our usual sense.

      迴響 由 Justin — 2012/02/08 @ 9:01 上午 | 回覆

  9. 這是定義,
    談不上存在性。
    我也沒有使用“不存在"這樣的詞彙。

    迴響 由 Yee — 2012/02/08 @ 9:24 上午 | 回覆

    • 是阿 一般而言沒有 =/= 一般而言不存在
      在這個語句裡面 沒有 跟 不存在 完全是不同意義的詞
      還真是幫人上了一課中文阿(笑

      迴響 由 searchtoherehehe — 2012/02/08 @ 3:11 下午 | 回覆

  10. 數字與常數函數,
    二者是同義的嗎?

    迴響 由 Yee — 2012/02/08 @ 9:35 上午 | 回覆

    • 是阿 大家程度比較差 比較不嚴格
      所以根據前後文語意我們都自己把這個地方的數字當成常數函數了
      對於一般人而言很正常的根據前後文判斷似乎對某人而言不管用
      還真是抱歉阿

      迴響 由 searchtoherehehe — 2012/02/08 @ 3:08 下午 | 回覆

  11. 【離題的類比】

    若談射影幾何,射「線」(line)其實是投影平面上的「點」。比如在 \mathbb{R}^2 上的 y=3,可視為 \mathbb{P}^2 上的無窮遠點 P_{\infty}。對觀察者 (-1,3),當他看直線 y=3 和點 (0,3),和數線(y-軸)上的數字 3,無異。再一般地,a 和 a/~ 當然不同,但以 a 表示等價類 a/~ 也可以理解吧。

    【正題】

    如果我講錯或寫錯,諸如 3'=0 之類而讓(某些)人誤解的話,只好道歉。

    但請不要離題,我希望貼文,介紹那種運算子(和 differential operator 在某些情況下有相似的特性 properties)的定義,從而得出一些(對某些人認為,對某些人不認為)有趣結果,讓學生知多一點點數學而已。

    當然人們可以繼續在我網誌找出我講錯寫錯的東西,在下不過是中學授課員,沒說錯話才奇怪。但這不是重點,因為數學內容才是我最關心的。

    Justin,看引文,那 operator 對證明哥德巴赫猜想(似乎暫時)看不到甚麼幫助。陶哲軒教授在網誌(2 月 1 日)發表了"Every odd integer larger than 1 is the sum of at most five primes",真希望不久將來,哥德巴赫猜想可被攻克!

    迴響 由 johnmayhk — 2012/02/08 @ 11:14 上午 | 回覆

    • Terrance Tao那份論文看過頭幾頁…可是我對數論的接觸太少了。他真是近代難得一見的奇才…Orz
      可知近期在’1+2’後有沒有甚麼新突破?

      迴響 由 Justin — 2012/02/08 @ 8:34 下午 | 回覆

      • 你指

        http://arxiv.org/pdf/1201.6656v2.pdf

        “1+2″ 最新突破?其實不知陶教授這個是否屬於更好的描述,最新情況要問你的教授了。

        迴響 由 johnmayhk — 2012/02/08 @ 8:52 下午

      • 這篇文章在理論上應該不算突破吧。充份大的奇數可以寫成三個素數之和是Vinogradov很久以前的結果。Tao做的事似是把原有的證明作充份的優化,使得需驗證的範圍是電腦能做到的。

        迴響 由 Soarer — 2012/02/12 @ 3:47 上午

      • Soarer兄是研究數論的嗎?現今數論的大方向是否都是集中於Riemann及Goldbach?

        迴響 由 Justin — 2012/02/12 @ 9:30 上午

      • 對數論略知一二吧。個人不認為Goldbach不是「大」問題,有興趣的人應該很少。

        至於Riemann Hypothesis:在數論中有很多Riemann zeta function的推廣(名為L function),這些L function有幾個重要的性質(analytic continuation/functional equation, Euler product, Riemann hypothesis)。Riemann Hypothesis對於大部份L function是不知道的(連Riemann zeta function的也不知道),不過還是有個別的例子是已被證明的,詳細可見Weil conjectures.(http://en.wikipedia.org/wiki/Weil_conjectures) 感覺上對這些不同L function 的"Riemann Hypothesis" 能被證明才是很重要的結果,只是對Riemann zeta function證明的話還不是那麼重要。

        個人認為現在代數數論的中心是Langlands網領吧(http://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program)。這說的是兩種L function (一種透過Galois群出現,一種透過某種表示出現)的關係。可能你會聽過費瑪大定理 — 這個定理並不重要 (也就是那個方程沒解這件事),但證明中最重要的谷山志村猜想(http://en.wikipedia.org/wiki/Modularity_theorem)是重要的結果,而這個和Langlands也有關係。千禧問題中的BSD猜想(http://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture)也和Langlands有很大關係。另有個方向是p-adic幾何,不過我對此沒認識。

        至於解析方面,近年的一個大結果是Quantum Unique Ergodicity conjecture,不過已被證明。還有一些數不同object的結果,例如Bhargava關於橢圓曲線的rank/數算cubic fields的結果等等。

        寫得比較片面,不過想說的是Goldbach/Riemann Hypothesis (還有以前的Fermat’s Last Theorem)會是很多課外讀物的題材,但實際上受重視的問題不限於這些。

        迴響 由 Soarer — 2012/02/12 @ 5:23 下午

      • 非常感謝 Soarer 的留言!

        教授留言,帶給我的反省是:

        可能數學行外人(如我)真的被非專業的數學課外讀物一直影響著,誤以為真正數學前沿重視或有興趣的問題,就是那些讀物談的材料。

        學無止境,甚願可以學習更多。謝謝諸君賜教!

        迴響 由 johnmayhk — 2012/02/12 @ 6:44 下午

  12. 被找出一些小瑕疵不是什麼大不了的事。
    不必小題大作、反應過度。

    迴響 由 Yee — 2012/02/08 @ 1:08 下午 | 回覆

    • 「被找出一些小瑕疵不是什麼大不了的事。」這句明。
      「小題大作、反應過度。」這句不明,可否解釋?
      (特別是「大作」,我只是隨便回應,談的也沒有甚麼特別東西,何來大作?)

      迴響 由 johnmayhk — 2012/02/08 @ 1:47 下午 | 回覆

    • 沒有人小題大做阿
      我只看到有人抓到別人一個根本不會造成誤解的稱不上語病的語病 然後開始賣弄知識
      很明顯這在某人的眼中也不是小題大做 那後面被人家點出來打個叉叉也只是剛好
      當然沒有人在小題大做(笑

      迴響 由 searchtoherehehe — 2012/02/08 @ 3:06 下午 | 回覆


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