Quod Erat Demonstrandum

2012/01/17

Core Math 某題-counting

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:50 下午

10 人(當中包括 A 和 B)排 10 人隊,若 A 不能排第一,B 不能排第尾,問排法多少?

答:

情況一:B 排第一(這樣也自然滿足了「A 不能排第一且 B 不能排第尾」的情況)

那麼,餘下 9 人排在餘下的 9 人隊,共 9! 種排法。

情況二:B 不是排第一

首先,B 不是排第一,而A也不能排第一,故排第一者只有 10-2=8 種可能情況。

另外,B 不能排第尾,故排第尾者只有 9-1=8 種情況。

餘下的 8 人,排在之間的 8 個位置,共 8! 種情況。

所以情況二共有 8\times 8\times 8! 種情況。

故滿足「A 不能排第一且 B 不能排第尾」的排法共有 9!+8\times 8\times 8!=8!(9+8^2)=73\times 8! 種。

但同學建議另一個「解法」:

先安排 A 不在第一位,共 9 種可能。

再安排 B 不在最尾,共 8 種可能(因不能在最尾,又有一個位置給 A 佔據了)。

餘下的 8 人,排在之間的 8 個位置,共 8! 種情況。

從而計出滿足「A不能排第一且B不能排第尾」的排法,共有 9\times 8\times 8!=72\times 8! 種,咦,為何比之前少?


(教 counting 最難之處不是提供解,而是說明學生的誤解有甚麼問題。)

其實,同學的解是少數了(8! 種情況),讓我解釋。

「先安排 A 不在第一位,共 9 種可能。」對,比如在空位

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

放下 A,情況可以是

_ _ A _ _ _ _ _ _ _

(共 9 種)

再「安排 B 不在最尾」,可以有

_ _ A _ B _ _ _ _ _

(共 8 種)

那麼,放 A 和 B 的方法,不就是 9\times 8 種嗎?錯!

當 A 放在第 2 至第 9 個位,不錯,之後有 8 個空位可放 B;

但當 A 放在第 10 個位,即

_ _ _ _ _ _ _ _ _ A

我們卻有 9 個(不止 8 個)空位可以放 B。

所以,放 A 和 B 的方法,不是 9\times 8 種,而是 (8\times 8+9) 種,即 73 種。

再考慮餘下的 8 人,滿足題意的排法共 73\times 8! 種。

現提供另一個題法:用概率。

P(「A 不排第一」AND「B 不排第尾」)

= 1 – P(「A 排第一」 OR 「B 排第尾」)

= 1 – [P(「A 排第一」) + P(「B 排第尾」) – P(「A 排第一」 AND 「B 排第尾」)]

= 1 – [1/10 + 1/10 – (1/10)(1/9)]  (注:那個 ‘1/9’ 是條件概率)

= 73/90

故滿足題意的排法共

10!(73/90)=73\times 8!

當這類問題「常規化」,比如視作「公式」:n 人排隊(n > 2),某人不能排第一,另外某人不能排尾,共有 (n-2)!(n^2-3n+3) 種排法。一切就沒有樂趣了。

2 則迴響 »

  1. or it can be 10! – 9! – 9! + 8!

    10! … any arrangement
    9! … any arrangement with A at the front
    9! …. any arrangement with B at the end
    8! … any arrangement with A at the front and B at the end

    迴響 由 Fung — 2012/01/19 @ 2:27 下午 | 回覆


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