Quod Erat Demonstrandum

2012/01/20

arctan,pi,complex numbers

Filed under: mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:02 下午
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式子

\pi=\tan^{-1}1+\tan^{-1}2+\tan^{-1}3

美麗嗎?我比較多見的形式是

\tan^{-1}(\frac{1}{2})+\tan^{-1}(\frac{1}{3})=\frac{\pi}{4}

(易知 \tan^{-1}(\frac{1}{n})+\tan^{-1}(n)=\frac{\pi}{2},故上述兩式等價。)

以圖來證明上式,可以考慮三個正方形(似乎比較常見),運用初中學的幾何知識得之,見下圖

綠色角和紅色角之大小,分別是 \tan^{-1}(\frac{1}{2})\tan^{-1}(\frac{1}{3}) 云云。

今次寫另一個證明方法。

考慮正方形 ABCD,對角線交於 E

易知 \angle ABE=\frac{\pi}{4}

FA,D 之中點(mid-point),連 FBAEG,見

考慮 \Delta ABF,易知 \tan\angle ABF=\frac{1}{2},即 \angle ABF=\tan^{-1}(\frac{1}{2})

考慮 \Delta GBE,也知 \angle GBE=\tan^{-1}(\frac{1}{3})

(為何?由於 \Delta EGF\Delta AGB 相似,而 FE:AB=1:2,故 EG:GA=1:2,也是說 EG:EB=EG:EA=1:3

因為 \angle ABE=\angle ABF+\angle GBE,即 \frac{\pi}{4}=\tan^{-1}(\frac{1}{2})+\tan^{-1}(\frac{1}{3})

圖像證明是不錯的,但當情況稍為複雜,可能圖像方法沒有優勢,比如證明

\tan^{-1}(\frac{1}{3})+\tan^{-1}(\frac{1}{5})+\tan^{-1}(\frac{1}{7})+\tan^{-1}(\frac{1}{8})=\frac{\pi}{4}

我們要另闢蹊徑:利用複數(complex number)。

首先,當 n > 1 時,恆有 0 < \tan^{-1}(\frac{1}{n}) < \frac{\pi}{4}

那麼,Arg(n+i) 就是 \tan^{-1}(\frac{1}{n}) 了。(其中 Arg(z)arg(z) 的主值 principal value)

另外,0 < \tan^{-1}(\frac{1}{3})+\tan^{-1}(\frac{1}{5})+\tan^{-1}(\frac{1}{7})+\tan^{-1}(\frac{1}{8}) < \pi

以及(厲害了!)我們有:

(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)=650(1+i)

Arg(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)=Arg(650(1+i))

\Rightarrow Arg(3+i)+Arg(5+i)+Arg(7+i)+Arg(8+i)=\frac{\pi}{4}

\Rightarrow \tan^{-1}(\frac{1}{3})+\tan^{-1}(\frac{1}{5})+\tan^{-1}(\frac{1}{7})+\tan^{-1}(\frac{1}{8})=\frac{\pi}{4}

記得以前做習題也碰過這例,證明

4\tan^{-1}(\frac{1}{5})-\tan^{-1}(\frac{1}{239})=\frac{\pi}{4}

這是 John Machin 於 1706 年發現的。這樣的式子,對計算圓周率近似值,很有幫助。見

http://en.wikipedia.org/wiki/John_Machin

我不懂如何運用圖像而得出上式,但利用複數,可輕易證明,但當然先要有「神來之筆」,見下:

(5+i)^4(239-i)=114224(1+i)

仿傚上題,考慮複角 Arg,一步 KO,龍年快樂!

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