Quod Erat Demonstrandum

2012/02/02

兩線間最短距離

Filed under: NSS — johnmayhk @ 4:09 下午

M2 課程沒有三維幾何的內容,起碼學生沒有正式學習三維裡直線和平面的方程。

但 M2 提供了處理三維幾何的工具:向量,幫助我們解決諸如以下問題。

三維空間有四點 A,B,C,D。如 AB 和 CD 不平行且不相交,求 AB 和 CD 之間的最短矩離。(Find the minimum distance between skew lines AB and CD.)

我們想像,可以在 AB 和 CD 上分別找兩點,連起,得線段。要求的就是最短線段的長度。

不難想像,該最短線段,是同時垂直 AB 及 CD 者:

於是, AB 和 CD 之間的最短矩離,即上圖顯示,線段 MN 的長度。其中 MN 是 AB 和 CD 的公垂線。

考慮一個同時盛載 MN 和 AB 的平面,即下圖的黃面:

另外,考慮一個同時盛載 MN 和 CD 的平面,即下圖的紅面:

那麼,MN 就是黃面和紅面的公共邊。

要找線段 MN 的長度,我們可以隨意在 AB 和 CD 上找兩點,比如 B 和 D。

連起 BD:

那麼,線段 BD 在 MN 上的(垂直)投影之長度 (the length of the orthogonal projection of BD on MN),就是線段 MN 的長度。

解說一下。

把線段 BD 平移到 ME,見

希望證明 EN ⊥ MN。

因 MN ⊥ MB,而 MB // ED,故 MN ⊥ ED;

亦即 MN 同時垂直 ED 及 ND,從而 MN ⊥ EN。^{[1]}

為何?利用向量證之。

\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{EN}

=\overrightarrow{MN}\cdot (\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DN})

=\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{ED}+\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{DN}

=0(因 MN 同時垂直 ED 及 ND。)

故 MN ⊥ EN。

好了,尋找 BD 在 MN 上的投影,是課程中常見,即

|\overrightarrow{MN}|=\frac{|\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{a}|} … … (*)

其中 \overrightarrow{a} 是和 \overrightarrow{MN} 平行的向量。即 \overrightarrow{a} 同時垂直 \overrightarrow{AB}\overrightarrow{CD}。不妨取 \overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD},(*) 變成

|\overrightarrow{MN}|=\frac{|\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}|} … … (**)

隨便出題,設

A(-1,0,1)
B(1,2,2)
C(0,-1,2)
D(-1,2,0)

求 AB 和 CD 之最短距離。

為方便,我以 \{a,b,c\} 代表 a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}

\overrightarrow{AB}=\{2,2,1\}
\overrightarrow{CD}=\{-1,3,-2\}

可見 AB 和 CD 不平行。

\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=\left|\begin{array}{rcl}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&2&1\\-1&3&-2\\\end{array}\right|=\{-7,3,8\}

\Rightarrow |\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}|=\sqrt{(-7)^2+3^2+8^2}=\sqrt{122}

另外,\overrightarrow{BD}=\{-2,0,-2\}

\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=\left|\begin{array}{rcl}-2&0&-2\\2&2&1\\-1&3&-2\\\end{array}\right|=-2

\Rightarrow |\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}|=2

由 (**),AB 和 CD 之最短距離是 \frac{|\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}|}=\frac{2}{\sqrt{122}}

上述方法考慮投影,或要較強的空間感才能「體會」,如同學不懂 scalar triple product 甚或 cross product,甚想像不到 BD 和 MN 的關係,也沒有問題,這裡提供另一個解法:

由於 M(a,b,c)N(d,e,f) 分別在 AB 和 CD 之上,我們可以命

\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}
\overrightarrow{CN}=n\overrightarrow{CD}

(其中 m,n 是實數^{[2]}

\{a+1,b,c-1\}=m\{2,2,1\}
\{d,e+1,f-2\}=n\{-1,3,-2\}

M(-1+2m,2m,1+m)N(-n,-1+3n,2-2n) ^{[3]}

從而 \overrightarrow{MN}=\{1-2m-n,-1-2m+3n,1-m-2n\}

因 MN 同時垂直 AB 及 CD,故

\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{AB}=0
\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{CD}=0

2(1-2m-n)+2(-1-2m+3n)+(1-m-2n)=0
-(1-2m-n)+3(-1-2m+3n)-2(1-m-2n)=0

\Rightarrow

9m-2n=1
m-7n=-3

解出

m=\frac{13}{61},n=\frac{28}{61}

從而

\overrightarrow{MN}=\{1-2m-n,-1-2m+3n,1-m-2n\}=\{\frac{7}{61},-\frac{3}{61},-\frac{8}{61}\}

所以 AB 和 CD 之最短距離是 \overrightarrow{MN}=\frac{1}{61}\sqrt{49+9+64}=\frac{2}{\sqrt{122}}

註:
[1] 一般地,如果直線 L 同時垂直某平面上的兩條非平行的線,則 L 一定垂直該面上任意一條直線。同學,試試證明它。
[2] 這裡 m,n 可以是負數。
[3] 也可利用 section formula,比如設 AM:MB = k,得 M(\frac{k-1}{k+1},\frac{2k}{k+1},\frac{2k+1}{k+1}) 諸如此類。

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