Quod Erat Demonstrandum

2012/02/07

Integration by parts

Filed under: NSS,Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 9:29 上午

幸好中學數學仍有延伸部份,同學可以接觸積分(integration)並當中的技巧:部分積分(integration by parts)。

對於應用 integration by parts 求

\int u(x)v(x)dx

(其中 u(x) 是多項式,v(x) 是容易計算積分的函數)

的題目,可用「列表法」簡化運算,例子:

Evaluate \int x^2\cos xdx.

先把多項式 u(x) 寫出:

對它求導(find derivatives),直到出現零為止:

現把 v(x) 寫出:

隨即對它求原函數(primitive),即求積分,不用寫 C(隨意常數)。

好了,把左右兩行的項,按以下方式,兩兩相乘,見下:

由 + 開始,正負相間地在兩兩相乘的項前加上正負號,見下

好了,要求的積分有答案了:

\int x^2\cos xdx=x^2\sin x-2x(-\cos x)+2(-\sin x)+C=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C

同學,如果 v(x)=e^x 運算真的很簡單,試試 \int x^3e^xdx 吧。

只要 v(x) 是比較易積的話,列表法似乎較易於掌握,見

\int \frac{12t^2+36}{\sqrt[5]{3t+2}}dt=(5t^2+15)(3t+2)^{\frac{4}{5}}-\frac{50t}{27}(3t+2)^{\frac{9}{5}}+\frac{125}{567}(3t+2)^{\frac{14}{5}}+C

計算 Laplace Transforms, Residue Theorem for Meromorphic Functions 等,也可用表列法,請參考:

http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma035.pdf

3 則迴響 »

  1. Furthermore,
    http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma036.pdf

    迴響 由 johnmayhk — 2012/02/07 @ 10:48 下午 | 回覆

  2. 呢個方法幾得意^^
    不過想請問下…呢個方法叫咩名 and DSE考試比唔比用呢個方法??

    迴響 由 sze long — 2012/04/21 @ 4:18 下午 | 回覆


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