Quod Erat Demonstrandum

2012/02/10

利用向量證 sine and cosine laws

Filed under: NSS — johnmayhk @ 5:49 下午

1. cosine law

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
b^2=c^2+a^2-2ca\cos B
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

利用向量證明第一式:

a^2

=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})

=b^2+c^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}

=b^2+c^2-2bc\cos A

(這是網友提供的方法,謝!)

2. sine law

\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}

利用向量證明:

考慮 \Delta ABC 的面積,立即有

\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BA}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CB}|

bc\sin A=ac\sin B=ba\sin C

全式除以 abc 後,得

\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}

順便寫寫… …

3. tangent law

\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan \frac{A-B}{2}}{\tan \frac{A+B}{2}}

\frac{b-c}{b+c}=\frac{\tan \frac{B-C}{2}}{\tan \frac{B+C}{2}}

\frac{c-a}{c+a}=\frac{\tan \frac{C-A}{2}}{\tan \frac{C+A}{2}}

利用 sine law 證明第一式:

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=k

a=k\sin A
b=k\sin B

現在,我們有

\frac{a-b}{a+b}

=\frac{k\sin A-k\sin B}{k\sin A+k\sin B}

=\frac{2\sin \frac{A-B}{2}\cos \frac{A+B}{2}}{2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}

=\frac{\tan \frac{A-B}{2}}{\tan \frac{A+B}{2}}

2 則迴響 »

  1. 餘弦定律爲何不直接用
    a^2=(AB-AC)•(AB-AC)=b^2+c^2-2AB•AC?

    迴響 由 ycshea — 2012/02/10 @ 6:02 下午 | 回覆


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