Quod Erat Demonstrandum

2012/03/05

無聊講數:斯托爾茨定理

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:33 下午

因希望寫到中學生明白,以下一篇某些陳述比較古怪,高手見諒。

1. 數列收斂之定義

對數列 \{a_n\},所謂 \{a_n\} 收斂於 a,即

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a

粗略的說法是

a_na 的距離,可以「要多近,就有多近」。

較精確的說法是

「對於任意正數 \epsilon (比如 \epsilon=0.00000001,不管它有多小)

總可以找到正整數 m,使

|a_n-a| < \epsilon

只要 n > m 便可。」

2. 例子

例如,考慮

a_n=\frac{1}{\log n}

直觀地,易知

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\log n}=0

如何用所謂精確的說法,說明(或證明)

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\log n}=0

呢?所謂精確的說法,我們希望

「對於任意正數 \epsilon

總可以找到正整數 m,使

|\frac{1}{\log n}-0| < \epsilon

|\frac{1}{\log n}| < \epsilon

只要 n > m 便可。」

問題是,我們真的可以找到那個 m 嗎?

可以,只要取

m 為一個大於 10^{1/\epsilon} 的正整數便可。

因為當

n > m

n > 10^{1/\epsilon}

\Rightarrow \log n > \frac{1}{\epsilon}

\Rightarrow |\frac{1}{\log n}| < \epsilon

即是說,

「對於任意正數 \epsilon

可以找到正整數 m(大於 10^{1/\epsilon} 的正整數),使

|\frac{1}{\log n}-0| < \epsilon

只要 n > m 便可。」

這就說明(或證明)

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\log n}=0

3. 更一般定義

為證明方便,數列收斂之定義可稍為放鬆:

對於任意正數 \epsilon

總可以找到正整數 m,使

|a_n-a| < k\epsilon(其中 k 是正數常數)

只要 n > m 便可。

這樣,我們便得

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a

4. Stolz–Cesàro theorem(斯托爾茨定理)

設數列 \{x_n\} 滿足:

(a) \{x_n\} 是嚴格遞增(strictly increasing);

(b) \{x_n\}\rightarrow +\infty

另設數列 \{y_n\}

若以下極限存在

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{y_{n+1}-y_{n}}{x_{n+1}-x_{n}}

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{y_n}{x_n}=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{y_{n+1}-y_{n}}{x_{n+1}-x_{n}}

(這定理被視為 l’Hôpital’s rule 的離散版本)

5. 應用定理

例子繁多,偶舉一個。求以下極限:

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}((\frac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sqrt{k})-\frac{2n}{3})

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}((\frac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sqrt{k})-\frac{2n}{3})

=\frac{1}{3}\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}(3\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}-2n\sqrt{n})

y_n=3\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}-2n\sqrt{n}

x_n=\sqrt{n}

那麼,

\{x_n\} 滿足:

(a) \{x_n\} 是嚴格遞增(strictly increasing);

(b) \{x_n\}\rightarrow +\infty

應用 Stolz–Cesàro 定理,得

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{y_n}{x_n}

=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{y_{n+1}-y_{n}}{x_{n+1}-x_{n}}

=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3\sqrt{n+1}-2((n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}

=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (3\sqrt{n+1}+2n\sqrt{n}-2(n+1)\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})

=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(\sqrt{n^2+n}-(n-1))

=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2+n-(n-1)^2}{\sqrt{n^2+n}+(n-1)}

=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3-1/n}{\sqrt{1+1/n}+1-1/n}

=\frac{3}{2}

所以

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}((\frac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sqrt{k})-\frac{2n}{3})

=\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}

= \frac{1}{2}

6. 證明定理

首先,由條件 (a) 及 (b),

n 足夠大,x_n > 0

故不失一般性,以下討論的 x_n 都是正數(不過是為了排除分母 x_{n} 是零的情況)。

考慮

\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}}-a

=\frac{y_{m+1}-ax_{m+1}}{x_{n+1}}+(1-\frac{x_{m+1}}{x_{n+1}})(\frac{y_{n+1}-y_{m+1}}{x_{n+1}-x_{m+1}}-a)

那麼

|\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}}-a|

< |\frac{y_{m+1}-ax_{m+1}}{x_{n+1}}|+|1-\frac{x_{m+1}}{x_{n+1}}||\frac{y_{n+1}-y_{m+1}}{x_{n+1}-x_{m+1}}-a|

證明方向是:如果不等號右邊的每一項皆接近零,則 |\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}}-a| 也接近零,證明完成。

問題是,我們可否找適當固定的常數正整數 m,使 n\rightarrow \infty 時,不等號右邊的每一項皆接近零?

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{y_{n+1}-y_{n}}{x_{n+1}-x_{n}}=a

對於任意正數 \epsilon

總可以找到正整數 m_1,使

|\frac{y_{n+1}-y_{n}}{x_{n+1}-x_{n}}-a| < \epsilon

只要 n > m_1 便可。

(a-\epsilon)(x_{n+1}-x_n) < y_{n+1}-y_n < (a+\epsilon)(x_{n+1}-x_n) for any n > m_1

(這裡用了條件 (a),以確保 x_{n+1}-x_{n} > 0

也即是說,

(a-\epsilon)(x_{m_1+2}-x_{m_1+1}) < y_{m_1+2}-y_{m_1+1} < (a+\epsilon)(x_{m_1+2}-x_{m_1+1})

(a-\epsilon)(x_{m_1+3}-x_{m_1+2}) < y_{m_1+3}-y_{m_1+2} < (a+\epsilon)(x_{m_1+3}-x_{m_1+2})

\dots

(a-\epsilon)(x_{n+1}-x_{n}) < y_{n+1}-y_{n} < (a+\epsilon)(x_{n+1}-x_{n})

加起上述 n-m_1 條不等式,得

(a-\epsilon)(x_{n+1}-x_{m_1+1}) < y_{n+1}-y_{m_1+1} < (a+\epsilon)(x_{n+1}-x_{m_1+1})

|\frac{y_{n+1}-y_{m_1+1}}{x_{n+1}-x_{m_1+1}}-a| < \epsilon for any n > m_1

小總結:

對於任意正數 \epsilon

可以找到正整數 m_1,使

|\frac{y_{n+1}-y_{m_1+1}}{x_{n+1}-x_{m_1+1}}-a| < \epsilon for any n > m_1

另一方面,對於同一個正數 \epsilon,及同一個正整數 m_1

可以找到正整數 m_2,使

|\frac{y_{m_1+1}-ax_{m_1+1}}{x_{n+1}}|< \epsilon for any n > m_2

(因為,對固定的 m_1\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{y_{m_1+1}-ax_{m_1+1}}{x_{n+1}}=0。)

若考慮 m=max\{m_1,m_2\},我們得出以下結論:

對於任意正數 \epsilon

可以找到正整數 m,使

|\frac{y_{n+1}-y_{m_1+1}}{x_{n+1}-x_{m_1+1}}-a| < \epsilon

|\frac{y_{m_1+1}-ax_{m_1+1}}{x_{n+1}}|< \epsilon

for any n > m

於是,

對於任意正數 \epsilon

可以找到正整數 m,使

|\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}}-a|

< |\frac{y_{m_1+1}-ax_{m_1+1}}{x_{n+1}}|+|1-\frac{x_{m_1+1}}{x_{n+1}}||\frac{y_{n+1}-y_{m_1+1}}{x_{n+1}-x_{m_1+1}}-a|

< \epsilon +(1)\epsilon

=2\epsilon

for any n > m

於是,由 3. 更一般定義,得

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}}=a

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{y_{n}}{x_{n}}=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}}=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{y_{n+1}-y_{n}}{x_{n+1}-x_{n}}

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