Quod Erat Demonstrandum

2012/03/07

答網友:求導

Filed under: NSS — johnmayhk @ 10:05 上午
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以下是網友 2011-12-17 的提問

Find \frac{dy}{dx} if

3x^3+2y^2-4x+\frac{5}{y}=0

建議題解是由

\frac{d}{dx}(3x^3+2y^2-4x+\frac{5}{y})=0

出發,得

\frac{dy}{dx}=\frac{y^2(4-9x^2)}{4y^3-5}

但網友先把原式化為

3x^3y+2y^3-4xy+5=0,由

\frac{d}{dx}(3x^3y+2y^3-4xy+5)=0

再出發,結果得

\frac{dy}{dx}=\frac{4y-9x^2y}{3x^3+6y^2-4x}

異於書中答案。於是網友代入數字,x=1,y=2 以檢驗一下,但發覺兩者:

\frac{y^2(4-9x^2)}{4y^2-5}|_{(1,2)}=-\frac{20}{27}

\frac{4y-9x^2y}{3x^3+6y^2-4x}|_{(1,2)}=-\frac{10}{23}

不同。何故?

上述兩個 \frac{dy}{dx} 的代數式表面各異,但其實是等價的。

注意,當中的 x,y 不是隨便的,而是滿足

3x^3+2y^2-4x+\frac{5}{y}=0

者。代入 (x,y)=(1,2) 是不合理的,因為 (1,2) 不滿足上式。

即是說,如果

3x^3+2y^2-4x+\frac{5}{y}=0

\frac{dy}{dx}=\frac{y^2(4-9x^2)}{4y^2-5}=\frac{4y-9x^2y}{3x^3+6y^2-4x}

驗算一下,比如,(0,b) 滿足原式,其中 b=-\sqrt[3]{2.5}

\frac{y^2(4-9x^2)}{4y^3-5}|_{(0,b)}=\frac{4b^2}{4b^3-5}

\frac{4y-9x^2y}{3x^3+6y^2-4x}|_{(0,b)}=-\frac{2}{3b}

易知,當 b=-\sqrt[3]{2.5}\frac{4b^2}{4b^3-5}=-\frac{2}{3b}

那就沒有問題了。

後話:感謝網友在電郵內的分享。網友提問早已透過電郵裡解答了,只是感到這些東西或許對同學有丁點幫助,故分享一下,諸君見諒。

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