Quod Erat Demonstrandum

2012/03/14

答學生:面積相等

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:42 下午

學生問數:參考下圖,若綠色部份和藍色部份面積相同,求 c 值。


直接算藍綠陣營的面積比較麻煩,參考下圖,我們可以考慮:

因 OABD 是 OABE 和 ABCDO 的公共部份,故此,若藍綠部份面積相等,即 OABE 和 ABCDO 的面積相等,即

\displaystyle \int_{y=0}^{y=c}g(y)dy=\displaystyle \int_{x=0}^{x=\sqrt{2}}(2x-x^3)dx

(其中 x=g(y) 指的 (x,y) 是滿足 y=2x-x^3x\ge k 者。)

\displaystyle \int_{x=\sqrt{2}}^{x=k}xd(2x-x^3)=1

\displaystyle \int_{x=\sqrt{2}}^{x=k}x(2-3x^2)dx=1

k^2-\frac{3}{4}k^4=0

k=\frac{2}{\sqrt{3}}

所以

c=2(\frac{2}{\sqrt{3}})-(\frac{2}{\sqrt{3}})^3=\frac{4}{3\sqrt{3}}

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