Quod Erat Demonstrandum

2012/03/15

V+F=E+2 的某應用

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 12:47 下午

不知大家兒時有沒有玩過以下謎題?

參考上圖,可否由每個紅點出發,畫線(可以是曲線)連到每個藍點,使畫的線不相交?

嗯,首先由第一個紅點出發,連去三個藍點,見:

再由第二個紅點出發,連去三個藍點,見:

再由第三個紅點出發,當連了去二個藍點後,再連第三個藍點,似乎無可避免地,要和之前畫過的線相交,見:

這是一定的嗎?一定會相交嗎?

還是其實有方法滿足題意,只是剛才的方法行不通,可行之法有待找出來?

*** 在看下去之前,希望同學你自己動手試試 ***

試到了沒有?

好了,現在利用大家在初中時接觸過的歐拉公式(Euler’s formula)證明:我們不是找不到,而是根本不可能找到方法使連線不相交。

溫習一下(關於多面體的)歐拉公式:

對任何凸多面體(convex polyhedron),設它的頂點(Vertices)的數目,面(Faces)數目和邊(Edges)數目分別為 V, FE,則

V+F=E+2

比如,對於長方體:

V=8,F=6,E=12

驗證一下:

V+F=8+6=12+2=E+2

同學試想像,把多面體(比如上述的長方體)的邊稍稍弄到彎彎曲曲,諸如:

歐拉公式其實仍可使用(當中的面,粗略地指由邊圍成的區域)。

比如,把紅藍四點放在球面,見下

看到一個立體,有兩個面 A 和 B,即 F=2,易知,V=4E=4,故 V+F=E+2

如果把原題目的紅藍六點放在球面,見下

又假設真的存在符合題意的連線方法(即沒有連線是相交者),即該立體有

V=6,E=3\times 3=9,再由歐拉公式,得 F=5 ………… (*)

現以另一個方式尋找 FE

F_k = 以 k 條邊圍成的面之數目。

例如,下圖的藍色面就是一個以 4 條邊圍成的面:

按題意,一個紅點只連一線至藍點,故 F_2=0

又由於沒有兩個紅點(藍點)連在一起,所以 F_3=0

從而,該立體的總面數 F 有以下關係:

F=F_4+F_5+\dots

現在想像把所有面,沿邊剪出來。我們可得 F 塊面,且邊的總數共是

4F_4+5F_5+\dots

又想像把所有面,沿邊黏合起來,變回原來的立體。可知每條邊都是某兩塊面的公共邊,故此

2E=4F_4+5F_5+\dots

好了,之後純粹玩代數了。由上式,知

2E > 4F_4+4F_5+\dots

\Rightarrow 2E > 4(F_4+F_5+\dots)

\Rightarrow 2E > 4F

\Rightarrow E > 2F

但 (*) 告訴我們,E=9,F=5,沒有可能吧!

即是說,不存在符合題意的連線方法。

Q.E.D.

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