Quod Erat Demonstrandum

2012/03/17

Core Math 某題:圓的交點

Filed under: NSS — johnmayhk @ 10:37 上午

畫 2 個圓,最多可得 2 個交點,見:

畫 3 個圓,最多可得 6 個交點,見:

4 個圓,最多可得 12 個交點,見:

那麼畫 n 個圓(n > 1),最多可得多少交點?

*** 同學,試先做做吧! ***

可能有些同學以歸納方法,估計出通式(General formula),即

n=2,交點有 2 = 2\times 1 個。
n=3,交點有 6 = 3\times 2 個。
n=4,交點有 12 = 4\times 3 個。

所以歸納出,交點個數是 n(n-1)

利用歸納方法得出的通式,是「靠估」而來。我們要以演繹方法把通式推論出來。

對任何兩圓,最多有兩個交點,見

而在 n 個圓選兩個,共 C_2^n 種選法;因每兩圓最多得兩交點,故此,n 個圓,最多產生

C_2^n \times 2 = n(n-1)

個交點。

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