Quod Erat Demonstrandum

2012/03/27

利用微積分證明畢氏定理

Filed under: Fun,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:49 下午

雖無聊,但也想談,見諒。

參考下圖:

\Delta ABC 是直角三角形。

AB=a,是常數,BC=x,是變數(x > 0)。

想像當 BC 的長度改變,即 x 改變,AC 也隨之而變化。

故不妨設 AC=y=f(x)

好了,考慮當 BC 變化成 BEEC 就是 \Delta x

AC 便隨之變成 AE

A 為圓心,分別以 ACAE 為半徑畫弧(見圖)。

延伸 AC,交弧於 D。那麼,CD=AD-AC=AE-AC=\Delta y

F,G 分別是 ECDAE 上的垂足。

這樣,CF < \Delta y < EG ………. (*)

易知,\Delta ECF\sim \Delta ACB,故

\frac{CF}{CE}=\frac{CB}{CA}\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} > \frac{x}{f(x)}(by (*))

另外,\Delta ECG\sim \Delta EAB,故

\frac{EG}{EC}=\frac{BE}{AE}\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} < \frac{x+\Delta x}{f(x)+\Delta y}

於是我們有

\frac{x}{f(x)} < \frac{\Delta y}{\Delta x} < \frac{x+\Delta x}{f(x)+\Delta y}

\Delta x\rightarrow 0^+,知 \Delta y\rightarrow 0^+,並由夾逼原理,得

\frac{dy}{dx}=\frac{x}{f(x)}

\Rightarrow ydy=xdx

\Rightarrow \int ydy=\int xdx

\Rightarrow y^2=x^2+C

x=0y=a,於是 C=a^2

所以

y^2=x^2+a^2

畢氏定理也。

問題:

1. 上面只考慮 \Delta x > 0 的情況,那麼 \Delta x < 0 又如何?
2. 「\Delta x\rightarrow 0^+,知 \Delta y\rightarrow 0^+」似乎要知 y=f(x) 是連續函數才可保證,但在未知畢氏定理之前,即未知 f(x)=\sqrt{x^2+a^2} 之前,如何確保 f 的連續?

參考資料:
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

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