Quod Erat Demonstrandum

2012/03/28

虛圓

Filed under: NSS — johnmayhk @ 11:11 上午
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書中某習作的第一題:

Given that A(-2,8) and C:x^2+y^2-4x+2y+27=0.

Determine the position of point A relative to circle C.

建議答案

\because (-2)^2+(8)^2-4(-2)+2(8)+27 < 0

\therefore A lies outside C.

我教這有關「點和圓關係」之課題,一直也只以比較 C 的半徑和 A 至圓心之距離,來決定 A 在圓內、圓外還是圓周上。

當然最後才引入以

x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F

是大於、小於或等於零來判別點 (x_0,y_0) 是在圓 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 外、內或之上。

但上例題,當中的圓

C:x^2+y^2-4x+2y+27=0

\Rightarrow (x-2)^2+(y+1)^2=-22

是虛圓(imaginary circle)。那麼我們描述「點在虛圓外」,是否有意義?

對所有實數 x,y,恆有 x^2+y^2-4x+2y+27> 0

是否要理解為所有平面上的點(\mathbb{R}^2)都「在 C 外」?

如果把 x=2+3i,y=-1+4i 代入上述圓方程,得

(2+3i-2)^2+(-1+4i+1)^2+22=-3 < 0

是否要理解為 (2+3i,-1+4i) 「在 C 內」?

這較難以直觀理解。

我們可否談論諸如「一個點是否在一個不存在(實平面上)的東西之外?」

不知道。

(舉一個可能離題的例:在二維和三維中,我們容易直觀地理解「互相垂直」這概念。但到更高的維度,似乎較難直觀地理解何謂「互相垂直」。但透過(某種意義下的)內積,我們似乎又不是完全不能理解在高維內的「互相垂直」;因為當 < \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} >=0,我們或可說,\overrightarrow{u}\overrightarrow{v} 在某種意義下「互相垂直」。)

對中學生以言,對錯才重要。

上題似乎容許虛圓和實點的比較,但之後,同一課的某題:

If C:x^2+y^2+16x-2y+k=0 does not meet straight line L:3x+4y-5, find the range of values of k.

Core Math 的做法是把 L 方程代入 C 方程,產生二次式,再考慮該二次式的判別式 \Delta < 0 以符合"C does not meet L"的要求。

這樣得出 k > 40

然而,建議答案為 40 < k < 65,當中的"k < 65"就是要求 C 是實圓,不容許虛圓(和點圓 point circle)。

這裡似乎又不容談論「一條線是否在一個不存在(實平面上)的東西之外?」

這樣就是不一致。教科書作者或可注意一下,謝謝。

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