Quod Erat Demonstrandum

2012/04/15

答兩題

Filed under: NSS — johnmayhk @ 3:58 下午

明天考了,也答兩題。

(一)關於三角形邊比和面積比的問題,通常分兩類:

1. same altitude(等高)(兩個三角形不一定是相似),有

面積比 = 底邊比,即

Area of \Delta ABC : Area of \Delta ACD = BC : CD

2. similar(相似)

面積比 = 邊比的平方,例如

Area of \Delta EFG : Area of \Delta HIJ = (FG:IJ)^2

習題:

參考下圖,若 LNOQ 是平行四邊形,OP:MN=3:2QP=MN;求

Area of LMRPQ : Area of LNOQ

解:

先看一看圖,知

\Delta OPR\Delta MNR 相似;
\Delta OPR\Delta ORN 等高;

OP:MN=3:2
\Delta OPR\Delta MNR 相似;故
Area of \Delta OPR : Area of \Delta MNR = (3:2)^2=9:4

不妨設

Area of \Delta OPR = 9a
Area of \Delta MNR = 4a

又因
\Delta OPR\Delta MNR 相似;故
PR:RN=3:2

\Delta OPR\Delta ORN 等高;得
Area of \Delta OPR : Area of \Delta ORN = 3:2


Area of \Delta OPR = 9a
所以
Area of \Delta ORN = 9a\times \frac{2}{3}=6a

好了,現在求 LNOQ 的面積。

\Delta NOP\Delta NOQ 等高,故
Area of \Delta NOP : Area of \Delta NOQ = OP:OQ=3:(3+2)=3:5

因 Area of \Delta NOP=9a+6a=15a
故 Area of \Delta NOQ=15a\times \frac{5}{3}=25a
所以,Area of LNOQ=25a \times 2=50a

另外,Area of LMRPQ=50a-(9a+6a+4a)=31a

於是,

Area of LMRPQ : Area of LNOQ = 31:50

(二)關於三角形的內切圓(內圓 in-circle)的問題

習題:參考下圖

(a) 已知 A(0,0), B(3,0), C(0,4),求內切圓之方程。

我們可把圓心和切點連結:

OX=OY=OZ=r(半徑)

再把圓心和三角形頂點連結:

於是大三角形 ABC 可分成三個小三角形 OAB,OBC,OCA

故大三角形的面積,就是三個小三角面積總和,得

\frac{1}{2}\times 3\times 4=\frac{1}{2}\times r\times 3+\frac{1}{2}\times r\times 5+\frac{1}{2}\times r\times 4

r=\frac{12}{3+4+5}=1

由於內接圓和 x-axis 及 y-axis 相切,故其圓心為

(1,1)

即方程為 (x-1)^2+(y-1)^2=1

(b) 再多問,求 Y 的坐標。

留意到 YCB 的分點(point of division),

所以只要知 CY:YB 便可求 Y

由 property of tangent from external point,知

CY=CZ=CA-AZ=4-1=3
YB=BX=BA-AX=3-1=2

CY:YB=3:2,於是

Y=(\frac{3\times 3+0\times 2}{3+2},\frac{0\times 3+4\times 2}{3+2})=(\frac{9}{5},\frac{8}{5})

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