Quod Erat Demonstrandum

2012/04/21

圓錐截線切線

Filed under: NSS,Teaching — johnmayhk @ 2:40 下午

Core Mathematics 習題:

Let C:x^2+y^2-6x+2y-15=0. Show that P(6,3) lies on C and find the equation of the tangent to C at P.

解法一:

Let L: y-3=m(x-6) \Rightarrow y=mx+(3-6m) be the tangent.

Put y=mx+(3-6m) into the equation of C, yield

x^2+(mx+(3-6m))^2-6x+2(mx+(3-6m))-15=0

\Rightarrow x^2+m^2x^2+2m(3-6m)x+(3-6m)^2-6x+2mx+2(3-6m)-15=0

\Rightarrow (1+m^2)x^2+(-12m^2+8m-6)x+(36m^2-48m)=0 ………. (*)

Since L is the tangent, \Delta of (*) is zero, i.e.

(-12m^2+8m-6)^2-4(1+m^2)(36m^2-48m)=0

\Rightarrow (-6m^2+4m-3)^2-12m(1+m^2)(3m-4)=0

\Rightarrow (36m^4-48m^3+52m^2-24m+9)-(36m^4-48m^3+36m^2-48m)=0

\Rightarrow 16m^2+24m+9=0

\Rightarrow (4m+3)^2=0

\Rightarrow m=-\frac{3}{4}

Hence the equation of L is y=-\frac{3}{4}(x-6)+3 \Rightarrow 3x+4y-30=0.

我很詳細地寫每步,不是用(比方說)wolframalpha 等立即跳到最終答案,是要感受一下那些運算之繁瑣,比如要做 (-12m^2+8m-6)^2 時,所謂「老師一小步,學生一大步」,學生很容易因為不小心弄錯(無聊的)代數運算而徒勞無功。

解法二:

圓有很多學生已知的幾何特性,透過幾何,簡化運算。

C:x^2+y^2-6x+2y-15=0\Rightarrow (x-3)^2+(y+1)^2=5^2

C 的圓心 G(3,-1)

Slope of GP=\frac{3-(-1)}{6-3}=\frac{4}{3}

由圓的幾何特性:切線垂直半徑,即

GP\perp L

立即知

Slope of L=-\frac{3}{4}

Hence the equation of L is y=-\frac{3}{4}(x-6)+3 \Rightarrow 3x+4y-30=0.

解法三:

修 M1, M2 的同學可利用微分處理。

C:x^2+y^2-6x+2y-15=0

Differentiate both sides with respect to x, yield

2x+2y\frac{dy}{dx}-6+2\frac{dy}{dx}=0

Put (x,y)=(6,3)

2(6)+2(3)\frac{dy}{dx}-6+2\frac{dy}{dx}=0

\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{3}{4} at (6,3)

Hence the equation of L is y=-\frac{3}{4}(x-6)+3 \Rightarrow 3x+4y-30=0.

當然,考 core mathematics 公開試時,不能(不建議?)使用此法。

解法四:

這是以往 Additional Mathematics 的做法,今天也不能(不建議?)在公開試使用。

先把圓方程中的

x^2 寫成 xx
y^2 寫成 yy
x 寫成 (x+x)/2
y 寫成 (y+y)/2

C:x^2+y^2-6x+2y-15=0

\Rightarrow xx+yy-3(x+x)+(y+y)-15=0

好了,要找在 (6,3) 之處的切線,只要把

上式各項的其中一個 x 換成 6
上式各項的其中一個 y 換成 3

6x+3y-3(x+6)+(y+3)-15=0\Rightarrow 3x+4y-30=0

這就是答案了。

(補充:如果題目給定的圓形方程是

C:(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

P(a,b)C 上,則我們把圓方程寫成

(x-h)(x-h)+(y-k)(y-k)=r^2 後,按上述手法,即其中一個 x,y 換成 a,b

立即得到在 P 處之切線為

(a-h)(x-h)+(b-k)(y-k)=r^2

圓是其中一種圓錐截線,其他還有橢圓、拋物線、雙曲線和直線對。

它們的方程都是以下形式

S:Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0

(其中 A,B,C,D,E,F 是常數)

比如當 A=1,B=0,C=1,D=-3,E=1,F=-15 時,就是上述例子的圓(方程)。

如果知道 P(x_1,y_1) 在圓錐曲線 S 上,則在 P 處的切線 L 之方程是

Ax_1x+2B(\frac{x_1y+xy_1}{2})+Cy_1y+2D(\frac{x+x_1}{2})+2E(\frac{y+y_1}{2})+F=0

看,也是用了所謂解法四的手法,立即得出結果。

證明?利用矩陣可以簡化不少運算,詳見以下連結之【例二】

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_08/page9.html

3 則迴響 »

  1. 如果果一點唔係個圓上面 係個圓出面 叫你搵tangent 穿過果點 咁 1 3 4 都不行了

    迴響 由 kelvin — 2012/04/21 @ 4:14 下午 | 回覆

  2. 想請問core mathematics 公開試時,為何不能使用解法三及四?

    迴響 由 marksheayc — 2012/04/21 @ 9:18 下午 | 回覆

    • 對,為何不能?
      我改一改:「不建議。」
      如果閱卷員知道學生做甚麼,視為「另一個解」又有何不可?

      求二次式極值用求導法
      求三角形面積用矩陣
      求組合數用生成函數

      不過為安全起見,我只能對學生說:「不建議。」

      詳情要問 HKEAA 及/或 有經驗的閱卷員了。

      謝謝!

      迴響 由 johnmayhk — 2012/04/21 @ 10:23 下午 | 回覆


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