# Quod Erat Demonstrandum

## 2012/04/21

### 圓錐截線切線

Filed under: NSS,Teaching — johnmayhk @ 2:40 下午

Core Mathematics 習題：

Let $C:x^2+y^2-6x+2y-15=0$. Show that $P(6,3)$ lies on $C$ and find the equation of the tangent to $C$ at $P$.

Let $L: y-3=m(x-6) \Rightarrow y=mx+(3-6m)$ be the tangent.

Put $y=mx+(3-6m)$ into the equation of $C$, yield

$x^2+(mx+(3-6m))^2-6x+2(mx+(3-6m))-15=0$

$\Rightarrow x^2+m^2x^2+2m(3-6m)x+(3-6m)^2-6x+2mx+2(3-6m)-15=0$

$\Rightarrow (1+m^2)x^2+(-12m^2+8m-6)x+(36m^2-48m)=0$ ………. (*)

Since $L$ is the tangent, $\Delta$ of (*) is zero, i.e.

$(-12m^2+8m-6)^2-4(1+m^2)(36m^2-48m)=0$

$\Rightarrow (-6m^2+4m-3)^2-12m(1+m^2)(3m-4)=0$

$\Rightarrow (36m^4-48m^3+52m^2-24m+9)-(36m^4-48m^3+36m^2-48m)=0$

$\Rightarrow 16m^2+24m+9=0$

$\Rightarrow (4m+3)^2=0$

$\Rightarrow m=-\frac{3}{4}$

Hence the equation of $L$ is $y=-\frac{3}{4}(x-6)+3 \Rightarrow 3x+4y-30=0$.

$C:x^2+y^2-6x+2y-15=0\Rightarrow (x-3)^2+(y+1)^2=5^2$

$C$ 的圓心 $G(3,-1)$

Slope of $GP=\frac{3-(-1)}{6-3}=\frac{4}{3}$

$GP\perp L$

Slope of $L=-\frac{3}{4}$

Hence the equation of $L$ is $y=-\frac{3}{4}(x-6)+3 \Rightarrow 3x+4y-30=0$.

$C:x^2+y^2-6x+2y-15=0$

Differentiate both sides with respect to $x$, yield

$2x+2y\frac{dy}{dx}-6+2\frac{dy}{dx}=0$

Put $(x,y)=(6,3)$

$2(6)+2(3)\frac{dy}{dx}-6+2\frac{dy}{dx}=0$

$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{3}{4}$ at $(6,3)$

Hence the equation of $L$ is $y=-\frac{3}{4}(x-6)+3 \Rightarrow 3x+4y-30=0$.

$x^2$ 寫成 $xx$
$y^2$ 寫成 $yy$
$x$ 寫成 $(x+x)/2$
$y$ 寫成 $(y+y)/2$

$C:x^2+y^2-6x+2y-15=0$

$\Rightarrow xx+yy-3(x+x)+(y+y)-15=0$

$6x+3y-3(x+6)+(y+3)-15=0\Rightarrow 3x+4y-30=0$

（補充：如果題目給定的圓形方程是

$C:(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

$P(a,b)$$C$ 上，則我們把圓方程寫成

$(x-h)(x-h)+(y-k)(y-k)=r^2$ 後，按上述手法，即其中一個 $x,y$ 換成 $a,b$

$(a-h)(x-h)+(b-k)(y-k)=r^2$

$S:Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$

（其中 $A,B,C,D,E,F$ 是常數）

$Ax_1x+2B(\frac{x_1y+xy_1}{2})+Cy_1y+2D(\frac{x+x_1}{2})+2E(\frac{y+y_1}{2})+F=0$

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_08/page9.html

## 3 則迴響 »

1. 如果果一點唔係個圓上面 係個圓出面 叫你搵tangent 穿過果點 咁 1 3 4 都不行了

迴響 由 kelvin — 2012/04/21 @ 4:14 下午 | 回應

2. 想請問core mathematics 公開試時，為何不能使用解法三及四?

迴響 由 marksheayc — 2012/04/21 @ 9:18 下午 | 回應

• 對，為何不能？
我改一改：「不建議。」
如果閱卷員知道學生做甚麼，視為「另一個解」又有何不可？

求二次式極值用求導法
求三角形面積用矩陣
求組合數用生成函數

不過為安全起見，我只能對學生說：「不建議。」

詳情要問 HKEAA 及／或 有經驗的閱卷員了。

謝謝！

迴響 由 johnmayhk — 2012/04/21 @ 10:23 下午 | 回應