Quod Erat Demonstrandum

2012/04/22

答一題

Filed under: NSS — johnmayhk @ 12:14 上午

Solve

2x^4-x^3+3x^2-x+2=0

Solution

(Trick: observe that the coefficients are 2,-1,3,-1,2; symmetrical, we may use u=x+\frac{1}{x} to transform it into a quadratic equation.)

2x^4-x^3+3x^2-x+2=0

\Rightarrow 2x^2-x+3-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}=0 (surely, x\ne 0)

\Rightarrow 2(x^2+\frac{1}{x^2})-(x+\frac{1}{x})+3=0

\Rightarrow 2(x+\frac{1}{x})^2-4-(x+\frac{1}{x})+3=0

Let u=x+\frac{1}{x}, the above will be

2u^2-u-1=0

\Rightarrow u=1 or -\frac{1}{2}

For

x+\frac{1}{x}=1

\Rightarrow x^2-x+1=0

\Rightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}

For

x+\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}

\Rightarrow 2x^2+x+2=0

\Rightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{1-16}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{15}i}{4}

Hence x=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2},\frac{-1\pm\sqrt{15}i}{4}

4 則迴響 »

  1. Blog主是否打錯了 2(x+1/x)^2 – 4 – (x+1/x) + 3 = 0
    PS:這條數是否今年dse考果份core maths卷?

    迴響 由 AS-M&S人 — 2012/04/22 @ 7:10 上午 | 回覆

    • 改了,謝!
      這是學生在 fb 問的,應不是今年的題。

      迴響 由 johnmayhk — 2012/04/22 @ 1:17 下午 | 回覆

  2. 1) 所有degree為偶數的"迴文"多項式 都可以用 u = x + 1/x 的substiution去減次, 可用binomial theorem的對稱性證明
    2) 所有degree為偶數的"迴文"多項式的解均以(x – 1/k)(x – k) 的形式出現, 可用歸納法證明
    上式中 (1+-sqrt 3 i)/2 互為倒數 (cis pi/3, cis -pi/3), 而第34解應為 (-1 +- sqrt 15 i )/4 (唔係2) 亦互為倒數
    Pure 2010 I8出過類似題目 不過比多左個repeated root既條件

    迴響 由 — 2012/04/26 @ 8:36 下午 | 回覆


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在WordPress.com寫網誌.

%d 位部落客按了讚: