Quod Erat Demonstrandum

2012/04/24

某次中四測驗的 1 分題目

Filed under: NSS — johnmayhk @ 11:08 上午
Tags:

以下是某次測驗給中四學生的 1 分題目:

It is given that x^5+81x^4+2590x^3+40830x^2+317089x+969969=0 has five distinct real roots. Which of the following graph is the best representation of the graph of y=x^5+81x^4+2590x^3+40830x^2+317089x+969969? Explain your answer.

當然,我不期望全體同學也可取這 1 分,也不期望同學真正地解出 5 個實根(real roots)。

作此數花時 1 分鐘,隨便用 wolframalpha 幫手 expand

(x+11)(x+13)(x+17)(x+19)(x+21)

而得出那「怪物」。可見,所有根(-11,-13,-17,-19,-21)都是負數,故只有選擇 D 正確。

如果同學知道 Descartes’ rule of signs,立即知道

x^5+81x^4+2590x^3+40830x^2+317089x+969969=0

的「所有根都是負數」。當然,我不會期望學生答 “Descartes’ rule of signs" 之類,那可以如何解釋?

*** 同學,先想想 ***

f(x)=x^5+81x^4+2590x^3+40830x^2+317089x+969969。如果出現正數根(positive root)\alpha,則

f(\alpha)=0

可是,因 f(x) 的所有係數(coefficients)也是正數,則

f(\alpha)=\alpha^5+81\alpha^4+2590\alpha^3+40830\alpha^2+317089\alpha+969969

也必然是正數,沒有可能得出零!

f(x)=0 沒有可能正數根。

又因題目說 f(x)=0 有 5 個實根,即, f(x)=0 有 5 個負數根(negative roots),亦即 y=f(x) 之圖象有 5 個負數的 x-intercepts。

6 則迴響 »

  1. John Sir, (終於有條題目仲識做了)

    “1分題目"大概得1分鐘時間作答, 分享吓我既思考模式:

    By elimination:
    1) 5 個實根(real root) => y=f(x) 應該有5個 x-intercept => A, B, C, D 都可能是答案;
    2) 圖 y=f(x) 的 y-intercept = constant term of f(x), which is = 969969 >0 => 只有 B 或D可能是答案;
    3) 由於所以coefficients都是正數, y=f(x) for x>0 is monotonic increasing => D 就是答案.

    YEAH!

    Paul Law (98)

    迴響 由 Paul Law (98) — 2012/04/24 @ 3:55 下午 | 回覆

    • Yeah!Long time no see 呀大工程師!

      迴響 由 johnmayhk — 2012/04/24 @ 7:17 下午 | 回覆

  2. x軸不該畫格子。
    畫上格子就把實根的範圍限定了。

    迴響 由 Yee — 2012/04/25 @ 12:48 下午 | 回覆

  3. 再吹毛求疵一下。
    x軸應該畫上箭頭,
    指明正向。

    迴響 由 Yee — 2012/04/26 @ 9:50 上午 | 回覆


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在WordPress.com寫網誌.

%d 位部落客按了讚: