Quod Erat Demonstrandum

2012/05/01

無聊談通項

那天觀課,同事開始教等差數列(arithmetic sequence),(估計是隨便)問學生:

2,1,4,\frac{1}{2},8,\frac{1}{4},\dots

的通項(general term)是甚麼?

關於通項,之前也談過,除非先有「特殊規定」,否則所謂通項是無定義的。

談回上題,假設同事的「特殊規定」是把兩個等比數列(geometric sequence)併在一起。當然,學生在中一時接觸過數型(number pattern),但要寫出上述數列的通項,似乎不是一蹴而就的事。因那是引起動機的其中一例,同事沒有繼續討論,但卻引發我思考一些東西。

只要時間許可,相信學生不難得到:

n 是奇數時,通項 T_n=2^{\frac{n+1}{2}}

n 是偶數時,通項 T_n=2^{-\frac{n-2}{2}}

但猜想學生習慣以「一條式」表達通項,那麼如何把上述兩式二合為一?

即時想到要運用 (-1)^n 吧?

除了是處理 2 次方的正負情況,我也聯想到:當 a,b,c 是等差數列(設 d 是等差),則

b+(-1)^nd 便可產生 ac

於是,考慮等差數列:\frac{n-2}{2},b,\frac{n+1}{2},得

b=\frac{2n-1}{4}

d=\frac{3}{4}

自然有

\frac{n-2}{2}=\frac{2n-1}{4}-\frac{3}{4}

\frac{n+1}{2}=\frac{2n-1}{4}+\frac{3}{4}

最後,按題目設定,小心選擇 (-1)^n(-1)^{n-1}

T_n=2^{(-1)^{n-1}(\frac{2n-1}{4}+(-1)^{n-1}\frac{3}{4})}=2^{(-1)^{n-1}(\frac{2n-1-(-1)^n(3)}{4})}

進一步,如果要求的通項 T_n 是以下形式:

T_n=\left \{ \begin{array}{ll} x_n & \mbox{for  }n=0,3,6,\dots\\y_n & \mbox{for  }n=1,4,7,\dots\\z_n & \mbox{for  }n=2,5,8,\dots\end{array}\right.

如何以「一條式」寫出 T_n

*** 同學,先停一停,想一想 ***

因當時我在觀課中,免分心,都是課後才想。

之前用等差數列的想法應該行不通,於是轉念,用線性組合(linear combination),即

T_n=a_nx_n+b_ny_n+c_nz_n

其中

(a_n,b_n,c_n)

=\left \{ \begin{array}{ll} (1,0,0) & \mbox{for  }n=0,3,6,\dots\\(0,1,0) & \mbox{for  }n=1,4,7,\dots\\(0,0,1) & \mbox{for  }n=2,5,8,\dots\end{array}\right.

但如何把 a_n,b_n,c_n 具體表成 n?看著這樣的「三步循環」結構,我立即聯想到複數(complex numbers)。

\omega = \cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3},我們有 1+\omega^n+\omega^{2n}

=\left \{ \begin{array}{ll} 3 & \mbox{for  }n=0,3,6,\dots\\ 0 & \mbox{for  }n=1,4,7,\dots\\ 0 & \mbox{for  }n=2,5,8,\dots\end{array}\right.

利用「目測」,立即得

a_n=\frac{1+\omega^n+\omega^{2n}}{3}

b_n,c_n 的「結構」和 a_n 無大差異,不過是「移一步」和「移兩步」的分別,即

b_n=\frac{1+\omega^{(n-1)}+\omega^{2(n-1)}}{3}

c_n=\frac{1+\omega^{(n-2)}+\omega^{2(n-2)}}{3}

再化簡一下,

1+\omega^k+\omega^{2k}

=1+\omega^k+(\overline{\omega})^k

=1+(\cos\frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3})+(\cos\frac{2k\pi}{3}-i\sin\frac{2k\pi}{3})

=1+2\cos\frac{2k\pi}{3}

故此

a_n=\frac{1}{3}(1+2\cos\frac{2n\pi}{3})
b_n=\frac{1}{3}(1+2\cos\frac{2(n-1)\pi}{3})
c_n=\frac{1}{3}(1+2\cos\frac{2(n-2)\pi}{3})

亦即

T_n=\frac{1}{3}((1+2\cos\frac{2n\pi}{3})x_n+(1+2\cos\frac{2(n-1)\pi}{3})y_n+(1+2\cos\frac{2(n-2)\pi}{3})z_n) for n=0,1,2,\dots

如此,便可以把 T_n 「三合一」了。

可以想像,「N 合一」也可用類似手法處理。

感謝同事給我思考材料。

1 則迴響 »

  1. Reblogged this on 一個平凡的數學應考訓練員 and commented:
    之前預備課題時,只考慮到在分情況下,以單雙項形式寫出各自的通項。也曾著力想想能否把兩項合拼,力不逮,不果。多謝 John Sir解答,望能繼續受教。

    迴響 由 joesir — 2012/05/01 @ 1:00 下午 | 回覆


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