Quod Erat Demonstrandum

2012/06/07

洗出個e來

Filed under: Fun,NSS — johnmayhk @ 10:45 上午

校長經常以木桶原理來勸勉教員,我每次都覺得自己是「最短那條」。

校長拿木桶談管理,我談數。

(注:估計時人鮮有親手洗衣服之經驗,故以下談的近乎「偽生活例子」。)

今有大木桶,盛滿清水。

欲洗衣服

方法是把木桶的清水,分若干次倒在小水盤中,

加入少許清潔劑,把衣服浸透洗刷,

然後把衣服擰乾,

但因人手擰乾,相信不能令衣服百份百乾透,還會殘留污水在衣服上。

故我們先把水盤中的水倒掉,再注入木桶的清水,把衣服浸透洗刷,再擰乾,再把衣服浸清水擰乾,如此類推,務求把衣服上的污物盡量清洗乾淨。

現在看看如何「洗出個 e 來」。(e 是 Euler’s number,或稱 Napier’s constant,修 M1, M2 的同學定有聞之。)

設大木桶盛水 V kg。

把木桶水分 n 次倒入小水盤,各次分別倒水 V_1,V_2,\dots V_n kg。(即 V=V_1+V_2+\dots +V_n

設原先衣服上的污物有 m_0 kg。

為簡化問題起見,假設每次把衣服人手擰乾,也殘餘 r kg 的水在衣服上。

也假設那只下了一次的清潔劑之體積極微。

現在,

把含污物 m_0 kg 的衣服浸透在 V_1 kg 的清水內,取出,擰乾後,設殘留在衣服上的污物有 m_1 kg,並餘水 r kg。由均勻假設,得

\frac{m_0}{V_1}=\frac{m_1}{r}

m_1=\frac{r}{V_1}m_0

把含污物 m_1 kg 並餘水 r kg 的衣服浸透在 V_2 kg 的清水內,取出,擰乾後,設殘留在衣服上的污物有 m_2 kg,並餘水 r kg。由均勻假設,得

\frac{m_1}{r+V_2}=\frac{m_2}{r}

m_2=\frac{r}{r+V_2}m_1=\frac{r}{r+V_2}\frac{r}{V_1}m_0

把含污物 m_2 kg 並餘水 r kg 的衣服浸透在 V_3 kg 的清水內,取出,擰乾後,設殘留在衣服上的污物有 m_3 kg,並餘水 r kg。由均勻假設,得

\frac{m_2}{r+V_3}=\frac{m_3}{r}

m_3=\frac{r}{r+V_3}m_2=\frac{r}{r+V_3}\frac{r}{r+V_2}\frac{r}{V_1}m_0

如此類推,最終有

m_n=\frac{r}{r+V_n}\frac{r}{r+V_{n-1}}\dots\frac{r}{r+V_3}\frac{r}{r+V_2}\frac{r}{V_1}m_0

m_n=\frac{m_0}{(1+V_n/r)(1+V_{n-1}/r)\dots (1+V_2/r)(V_1/r)} (n\ge 2

正常地,我們希望最終殘留在衣服上的污物盡量少,那麼應該如何分配水盤的水 V_1,V_2,\dots V_n

我們考慮:對於固定的 n,甚麼的 V_1,V_2,\dots V_n 才使 m_n 到達最小值?

修純數的同學或聯想到「算幾不等式」A.M. \ge G.M.,知

\sqrt[n]{(1+V_n/r)(1+V_{n-1}/r)\dots(1+V_2/r)(V_1/r)}

\le\frac{1}{n}((1+V_n/r)+(1+V_{n-1}/r)+\dots +(1+V_2/r)+(V_1/r))

=\frac{1}{n}(n-1+\frac{V_n+V_{n-1}+\dots+V_2+V_1}{r})

=\frac{1}{n}(n-1+\frac{V}{r})

(1+V_n/r)(1+V_{n-1}/r)\dots(1+V_2/r)(V_1/r)\le (1+\frac{V-r}{rn})^n

亦即

m_n \ge\frac{m_0}{(1+\frac{V-r}{rn})^n}

留意到,對固定的 n,不等式右邊是常數,亦易知 V > r(為何?)故不等式右邊是個正數常數。

亦是說,無論如何,總有污物殘留衣上(m_n > 0),那麼何時 m_n 到達最小?算幾不等式告訴我們,當

1+V_n/r=1+V_{n-1}/r=\dots=1+V_3/r=1+V_2/r=V_1/r

時,等式成立,即

V_2=V_3=\dots=V_{n-1}=V_{n}1+V_k/r=V_1/rk=2,3,\dots, n

n-1+(V_2+V_3+\dots +V_n)/r=(n-1)V_1/r

\Rightarrow n-1+(V-V_1)/r=(n-1)V_1/r

\Rightarrow V_1=r+(V-r)/n

故此,

V_k=V_1-r=(V-r)/n

即是說,只要把木桶內 V kg 的清水分配成

V_1=r+(V-r)/n

之後每次小水盤盛水

V_2=V_3=\dots =V_n=(V-r)/n

就可得最少的 m_n 了。

(當然,估計很少人洗衣前會作上述運算。)

再看看式子

\frac{m_0}{(1+\frac{V-r}{nr})^n}

對變化的 n,當 n 值愈大,(1+\frac{V-r}{nr})^n 也愈大(試證之),即使用小水盤次數愈多愈好。那麼,當 n 趨向無窮大,又如何?

這裡要運用修 M1 或 M2 的同學非常熟知的關係式

e=\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}(1+\frac{1}{n})^n

進而有

e^x=\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}(1+\frac{x}{n})^n

那麼,當 n 趨向無窮大,殘留污物的質量趨向

\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{m_0}{(1+\frac{V-r}{nr})^n}

=\frac{m_0}{\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}(1+\frac{(V-r)/r}{n})^n}

=\frac{m_0}{e^{(V-r)/r}}

就這樣,洗出個 e 來。

記憶所及,類似的討論在化學課接觸過,應是有關清洗 test tubes 的問題,同學幫我證實吧。

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