Quod Erat Demonstrandum

2012/07/16

1/998001

Filed under: Fun — johnmayhk @ 3:22 下午

Justin 傳來一個有趣結果:

\frac{1}{998001}

= 0.000001002003004005006007008009010011012...

想繼續看小數點後位數,可往

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F998001

按 “more digits" 便可。

同學也觀察到小數位,當中依次出現了

000, 001, 002, 003, …

(會否出現 999?1000?上面連結幫到你。)

怎會找到那個「神奇」的 \frac{1}{998001}

或許可以考慮

S=1+2r+3r^2+4r^3+\dots ………. (1)

當中 -1 < r < 1

求上述級數之和,可以考慮

rS=r+2r^2+3r^3+4r^4+\dots ……… (2)

(1) – (2) 得

(1-r)S=1+r+r^2+r^3+\dots=\frac{1}{1-r}

S=1+2r+3r^2+4r^3+\dots=\frac{1}{(1-r)^2} ………. (*)

好了,代入 r=0.001,得

1+0.002+0.000003+0.000000004+\dots=\frac{1}{0.999^2}

等號兩邊再乘以 0.000001,得

0.000001
+0.000000002
+0.000000000003
+0.000000000000004
+\dots

=\frac{0.000001}{0.998001}=\frac{1}{998001}

\frac{1}{998001} 是有理數,它的小數表達式不可能是無窮不循環。那麼它是有限小數,還是無窮循環小數?循環節多長?同學自行探究了。

(*) 可代入不同的 r 值,不難想到以下的「神奇」分數的由來:

\frac{1}{9^2}=0.0123456790123456790...

\frac{1}{99^2}=0.00010203040506070809101112...

\frac{1}{9999^2}=0.00000001000200030004000500060007...

諸如此類。

之前寫過類似東西,同學,有時間也看看吧:

https://johnmayhk.wordpress.com/2010/11/02/open-day-math/

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