Quod Erat Demonstrandum

2012/07/25

根中根

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 11:40 上午

易知

\sqrt{3+\sqrt{8}}=1+\sqrt{2}

\sqrt{3+\sqrt{7}}

卻「不能」如上例作「進一步運算」。

於是學生曾問,甚麼樣的無理數

\sqrt{x+\sqrt{y}}

可以「化簡」?

說得清楚一點,設 x,y 為正整數,且 \sqrt{y} 是無理數,命

\sqrt{x+\sqrt{y}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} ………. (*)

當中的 a,b 一定可解嗎?

由 (*),得

x+\sqrt{y}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+\sqrt{4ab}

如果 a+bab 皆是有理數的話,我們才可推得

a+b=x
4ab=y

要求出 a,b,即解上述的聯立方程,得

4a^2-4ax+y=0

a=\frac{4x\pm \sqrt{16x^2-16y}}{8}=\frac{x\pm \sqrt{x^2-y}}{2} ………. (1)

b=\frac{4x\mp \sqrt{16x^2-16y}}{8}=\frac{x\mp \sqrt{x^2-y}}{2} ………. (2)

可見,若要得有理數 a,b

x^2-y=z^2,其中 z 是有理數。

y=(x-z)(x+z)

為簡單起見,隨便代入 z=1,2,3\dots,也找些大於 zx 值,

求對應的 y 值,從而計出 a,b

用 EXCEL 幫幫手:

即是得到一些「進一步運算」如下:

\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{1.5}+\sqrt{0.5}
\sqrt{3+\sqrt{8}}=\sqrt{2}+\sqrt{1}
\sqrt{4+\sqrt{15}}=\sqrt{2.5}+\sqrt{1.5}
\sqrt{5+\sqrt{24}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}
\sqrt{3+\sqrt{5}}=\sqrt{2.5}+\sqrt{0.5}
\sqrt{4+\sqrt{12}}=\sqrt{3}+\sqrt{1}
\sqrt{5+\sqrt{21}}=\sqrt{3.5}+\sqrt{1.5}
\sqrt{6+\sqrt{32}}=\sqrt{4}+\sqrt{2}
\sqrt{5+\sqrt{16}}=\sqrt{4}+\sqrt{1}(嗯… …)
\sqrt{6+\sqrt{27}}=\sqrt{4.5}+\sqrt{1.5}
\sqrt{7+\sqrt{40}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}
\sqrt{8+\sqrt{55}}=\sqrt{5.5}+\sqrt{2.5}

等等。

好了,如果不要求 a,b 為有理數,由 (1) 和 (2) 得

\sqrt{x+\sqrt{y}}=\sqrt{\frac{x+ \sqrt{x^2-y}}{2}}+\sqrt{\frac{x- \sqrt{x^2-y}}{2}}

故只要 x^2-y 非負,上式成立。

比如代入 x=3,y=7,得「進一步運算」如下:

\sqrt{3+\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{3+ \sqrt{2}}{2}}+\sqrt{\frac{3- \sqrt{2}}{2}}

但這是否屬於「化簡」(simplify)呢?不清楚,起碼「化簡」一詞本身已不清楚了。

發表迴響 »

仍無迴響。

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在 WordPress.com 建立免費網站或網誌.

%d 位部落客按了讚: